Номер 8.3, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.3. а) $\tan x + 3\cot x = 4;$

В) $\tan^2 x - 1 = 0;$

б) $\tan x - 4\cot x = 3;$

г) $\cot^2 x - 3 = 0.$

a) Решим уравнение $tgx + 3ctgx = 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $cosx \neq 0$ и $sinx \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq \pi n$ для любого целого $n$. Объединяя, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $ctgx = \frac{1}{tgx}$ и подставим его в уравнение:

$tgx + 3 \cdot \frac{1}{tgx} = 4$

Введем замену переменной. Пусть $y = tgx$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии $y \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$y^2 + 3 = 4y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $tgx = 1$, то $x = arctan(1) + \pi n$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = 3$, то $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $tgx - 4ctgx = 3$.

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Заменяем $ctgx$ на $\frac{1}{tgx}$:

$tgx - \frac{4}{tgx} = 3$

Пусть $y = tgx$. Получаем уравнение:

$y - \frac{4}{y} = 3$

Умножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 4 = 3y$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $tgx = 4$, то $x = arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = -1$, то $x = arctan(-1) + \pi k$, что дает $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $tg^2x - 1 = 0$.

ОДЗ: $tgx$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения следует, что $tg^2x = 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$tgx = 1$ или $tgx = -1$.

1. Если $tgx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу. Точки на единичной окружности, соответствующие этим решениям, повторяются через $\frac{\pi}{2}$. Поэтому общее решение можно записать как $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg^2x - 3 = 0$.

ОДЗ: $ctgx$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения следует, что $ctg^2x = 3$.

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$ctgx = \sqrt{3}$ или $ctgx = -\sqrt{3}$.

1. Если $ctgx = \sqrt{3}$, то $x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, что дает $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $ctgx = -\sqrt{3}$, то $x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi k$, что дает $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.