Номер 8.6, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.6. a) $9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 2 \sin^2 x$;

б) $2\sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$.

а) $9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 2\sin^2 x$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:

$2\sin^2 x - 9\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 0$

Проверим, могут ли быть решениями значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 \cdot 1 - 9\sin x \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 = 0$

$2 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{9\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{7\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Поскольку $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, уравнение принимает вид:

$2\tan^2 x - 9\tan x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда мы получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\tan x = \frac{7}{2}$, то $x = \arctan(\frac{7}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{7}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверим случай, когда $\cos x = 0$. В этом случае $\sin^2 x = 1$. Подставляем в уравнение:

$2 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$

$2 = 0$

Получено неверное равенство, значит $\cos x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$ и решим полученное квадратное уравнение:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Выполним обратную замену:

1) Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\tan x = -\frac{1}{2}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.