Номер 8.2, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.2. а) $3\cos^2 x + 10\cos x + 3 = 0;$

б) $2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0;$

в) $2 + \cos^2 x = 2\sin x;$

г) $3 - 3\cos x = 2\sin^2 x.$

а) $3\cos^2x + 10\cos x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 + 10t + 3 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь вернемся к замене:

1) $\cos x = -3$. Этот корень не подходит, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$. Уравнение не имеет решений.

2) $\cos x = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{1}{3} \in [-1; 1]$.

Общее решение для этого случая: $x = \pm\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2x + 5\sin x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену: пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

Получаем уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1) $\sin x = -2$. Решений нет, так как $-2 \notin [-1; 1]$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решение этого уравнения: $x = (-1)^k\arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 + \cos^2x = 2\sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ для приведения уравнения к одной тригонометрической функции.

$2 + (1 - \sin^2x) = 2\sin x$

$3 - \sin^2x = 2\sin x$

$\sin^2x + 2\sin x - 3 = 0$

Сделаем замену: $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $\sin x = 1$. Это частный случай, решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -3$. Решений нет, так как $-3 \notin [-1; 1]$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3 - 3\cos x = 2\sin^2x$

Заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$ с помощью основного тригонометрического тождества.

$3 - 3\cos x = 2(1 - \cos^2x)$

$3 - 3\cos x = 2 - 2\cos^2x$

$2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$

Сделаем замену: $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, поэтому один корень $t_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.