Номер 7.10, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.10. a) $ \sin 3x \cdot \cos 3x = -\frac{1}{2} $;

б) $ \sin^2 2x - \cos^2 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

в) $ \frac{2 \operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg}^2 2x} = \sqrt{3} $;

г) $ 2 \sin^2 4x - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

а)

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

В нашем уравнении аргумент $\alpha = 3x$. Применим формулу к левой части уравнения:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 3x) = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(6x) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$sin(6x) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.

Вынесем минус за скобки в левой части уравнения, чтобы привести его к виду формулы:

$-(cos^2(2x) - sin^2(2x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае аргумент $\alpha = 2x$. Применяем формулу:

$-cos(2 \cdot 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение по общей формуле:

$4x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{4} = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}$.

В нашем уравнении аргумент $\alpha = 2x$. Применим формулу:

$tg(2 \cdot 2x) = \sqrt{3}$

$tg(4x) = \sqrt{3}$

При решении этого уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - tg^2(2x) \neq 0$, то есть $tg(2x) \neq \pm1$. Также сам тангенс должен существовать, то есть $cos(2x) \neq 0$.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$4x = arctg(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\frac{\pi}{3} + \pi k}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Найдем $tg(2x)$ для наших решений:

$tg(2x) = tg(2(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4})) = tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2})$.

При четных $k$ ($k=2n$): $tg(\frac{\pi}{6} + \pi n) = tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq \pm1$.

При нечетных $k$ ($k=2n+1$): $tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n) = -ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} \neq \pm1$.

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Используем одну из формул косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся минус за скобки:

$-(1 - 2sin^2(4x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В нашем случае аргумент $\alpha = 4x$. Применяем формулу:

$-cos(2 \cdot 4x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-cos(8x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(8x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$8x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{8} = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{2\pi k}{8} = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.