Номер 7.7, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (7.7–7.12):

7.7.a) $3 \operatorname{tg} 2x - \sqrt{3} = 0;$

б) $ - \sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x + 3 = 0;$

в) $2 \sin 2x - \sqrt{2} = 0;$

г) $-2 \cos 2x + \sqrt{3} = 0.$

а) $3\operatorname{tg} 2x - \sqrt{3} = 0$

Первым шагом выразим тригонометрическую функцию. Для этого перенесем $-\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$3\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$\operatorname{tg} 2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\operatorname{tg} t = a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 2:

$x = \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $-\sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x + 3 = 0$

Выразим функцию котангенса. Сначала перенесем 3 в правую часть:

$-\sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x = -3$

Разделим обе части уравнения на $-\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg} 4x = \frac{-3}{-\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg} 4x = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg} t = a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = 4x$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арккотангенса $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения:

$4x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Находим $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{6 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin 2x - \sqrt{2} = 0$

Выразим синус. Перенесем $-\sqrt{2}$ в правую часть:

$2\sin 2x = \sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin t = a$ записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $x$ делим все выражение на 2:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{4 \cdot 2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $-2\cos 2x + \sqrt{3} = 0$

Выразим косинус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$-2\cos 2x = -\sqrt{3}$

Разделим обе части на -2:

$\cos 2x = \frac{-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos t = a$ записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Находим $x$, разделив все выражение на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.