Номер 7.9, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.9. a) $3\operatorname{tg}\left(\frac{2x}{3}+2\right)=-4;$

Б) $4\operatorname{ctg}\left(\frac{3x}{2}-1\right)-3=0;$

В) $2\sin\left(\frac{2x}{5}+3\right)=\sqrt{3};$

Г) $\sqrt{3}\cos\left(\frac{5x}{2}-1\right)+2=0.$

а)

Исходное уравнение: $3\tg(\frac{2x}{3} + 2) = -4$.

Разделим обе части на 3, чтобы выразить тангенс:

$\tg(\frac{2x}{3} + 2) = -\frac{4}{3}$.

Аргумент тангенса равен арктангенсу от правой части плюс период тангенса $\pi n$:

$\frac{2x}{3} + 2 = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$:

$\frac{2x}{3} + 2 = -\arctan(\frac{4}{3}) + \pi n$.

Выразим $x$. Сначала вычтем 2:

$\frac{2x}{3} = -2 - \arctan(\frac{4}{3}) + \pi n$.

Теперь умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{3}{2}(-2 - \arctan(\frac{4}{3}) + \pi n)$.

$x = -3 - \frac{3}{2}\arctan(\frac{4}{3}) + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3 - \frac{3}{2}\arctan(\frac{4}{3}) + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $4\ctg(\frac{3x}{2} - 1) - 3 = 0$.

Перенесем 3 в правую часть:

$4\ctg(\frac{3x}{2} - 1) = 3$.

Разделим обе части на 4, чтобы выразить котангенс:

$\ctg(\frac{3x}{2} - 1) = \frac{3}{4}$.

Аргумент котангенса равен арккотангенсу от правой части плюс период котангенса $\pi n$:

$\frac{3x}{2} - 1 = \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Сначала прибавим 1:

$\frac{3x}{2} = 1 + \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n$.

Теперь умножим обе части на $\frac{2}{3}$:

$x = \frac{2}{3}(1 + \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n)$.

$x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{2x}{5} + 3) = \sqrt{3}$.

Разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$\sin(\frac{2x}{5} + 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$.

$\frac{2x}{5} + 3 = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{2x}{5} + 3 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выразим $x$. Сначала вычтем 3:

$\frac{2x}{5} = -3 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Теперь умножим обе части на $\frac{5}{2}$:

$x = \frac{5}{2}(-3 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k)$.

$x = -\frac{15}{2} + (-1)^k \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{15}{2} + (-1)^k \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\cos(\frac{5x}{2} - 1) + 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{3}\cos(\frac{5x}{2} - 1) = -2$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\cos(\frac{5x}{2} - 1) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Область значений функции косинус $y = \cos(\alpha)$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части: $\sqrt{3} \approx 1,732$, значит $-\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -\frac{2}{1,732} \approx -1,154$.

Поскольку $-1,154 < -1$, значение $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ не входит в область значений функции косинус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.