Номер 7.2, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.2. a) $tgx = 2$;

B) $tgx = -\sqrt{3}$;

б) $ctgx = -3$;

Г) $ctgx = \sqrt{3}$.

а) $\operatorname{tg}x = 2$

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ находится по общей формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 2$. Это значение не является табличным для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.

Подставляем $a = 2$ в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{ctg}x = -3$

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ находится по общей формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -3$. Это значение не является табличным для котангенса, поэтому решение записывается через арккотангенс.

Подставляем $a = -3$ в формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Можно также использовать свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$, чтобы выразить решение как $x = \pi - \operatorname{arcctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Обе формы записи корректны, но первая является более стандартной.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\operatorname{tg}x = -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения значения $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

Таким образом, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\operatorname{ctg}x = \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \sqrt{3}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.