Номер 7.4, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.4. а) $ \text{tg}(x - 2) = 0; $

Б) $ \text{ctg}(x + 3) = 0; $

В) $ 2 \cdot \sin(3x) + 1 = 0; $

Г) $ \cos\frac{x}{2} - 0,5 = 0. $

а) Решим уравнение $tg(x - 2) = 0$.

Уравнение вида $tg(y) = 0$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Его решение находится по формуле $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В данном случае аргумент тангенса $y = x - 2$.

Приравниваем аргумент к общему решению:

$x - 2 = \pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg(x + 3) = 0$.

Уравнение вида $ctg(y) = 0$ является частным случаем. Его решение находится по формуле $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Аргумент котангенса в этом уравнении $y = x + 3$.

Составляем уравнение:

$x + 3 = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся 3 в правую часть:

$x = \frac{\pi}{2} - 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} - 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \cdot \sin3x + 1 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\sin3x$:

$2 \sin3x = -1$

$\sin3x = -\frac{1}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ записывается формулой $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$3x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$

Используя свойство степеней $(-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}$, упростим выражение:

$3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos\frac{x}{2} - 0,5 = 0$.

Выразим $\cos\frac{x}{2}$ из уравнения:

$\cos\frac{x}{2} = 0,5$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $y = \frac{x}{2}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.