Номер 7.8, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.8.a) $ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0; $

б) $ \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0; $

В) $ \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{x}{3}\right) - 1 = 0; $

Г) $ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = \sqrt{3}. $

а) $ \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы получить стандартное тригонометрическое уравнение:

$ \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство $ \sin(t) = 1 $ истинно, когда аргумент синуса $ t $ равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Приравняем аргумент нашего синуса к этому выражению:

$ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Теперь выразим $ x $. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ \frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k $

Сократим дробь:

$ \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = 2 \cdot (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k) = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k $

Ответ: $ x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ \cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = 1 $

Это частный случай. Равенство $ \cos(t) = 1 $ истинно, когда аргумент косинуса $ t $ равен $ 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Приравниваем аргумент нашего косинуса к этому выражению:

$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2\pi k $

Выразим $ x $. Сначала изолируем слагаемое с $ x $:

$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Умножим обе части уравнения на 3:

$ x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi k $

Ответ: $ x = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \text{tg}(\pi + \frac{x}{3}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ \text{tg}(\pi + \frac{x}{3}) = 1 $

Используем свойство периодичности тангенса: $ \text{tg}(\alpha + \pi n) = \text{tg}(\alpha) $ для любого целого $ n $. В нашем случае $ n=1 $.

Уравнение упрощается до:

$ \text{tg}(\frac{x}{3}) = 1 $

Общее решение уравнения $ \text{tg}(t) = 1 $ имеет вид $ t = \text{arctg}(1) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $, получаем:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k $

Умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = 3 \cdot (\frac{\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3} - 4x) = \sqrt{3} $

Это уравнение вида $ \text{ctg}(t) = a $. Его общее решение: $ t = \text{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{\pi}{3} - 4x $ и $ a = \sqrt{3} $.

Значение арккотангенса: $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем это значение в формулу решения:

$ \frac{\pi}{3} - 4x = \frac{\pi}{6} + \pi k $

Теперь выразим $ x $. Сначала изолируем $ -4x $:

$ -4x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$ -4x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k $

$ -4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак перед $ 4x $:

$ 4x = \frac{\pi}{6} - \pi k $

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{4} $

Поскольку $k$ может быть любым целым числом (положительным, отрицательным или нулем), то выражение $ -k $ также пробегает все целые числа. Поэтому ответ можно записать и в виде $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} $, что является более стандартной формой. Оба варианта математически эквивалентны.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $ (или $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $).