Вопросы, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений?

2. Чем отличается решение тригонометрических уравнений от решений алгебраических уравнений?

1. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений?

Тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений из-за фундаментального свойства тригонометрических функций — периодичности. Периодичность означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, который называется периодом.

Например:

• Функции синус и косинус имеют период $2\pi$ (или $360^\circ$). Это означает, что для любого угла $x$ и любого целого числа $k$ выполняются равенства: $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ и $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$.
• Функции тангенс и котангенс имеют период $\pi$ (или $180^\circ$). Для них справедливы равенства: $tan(x) = tan(x + \pi k)$ и $cot(x) = cot(x + \pi k)$.

Рассмотрим простое уравнение $sin(x) = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ ему удовлетворяют два значения угла: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Из-за периодичности синуса, если $x_1 = \frac{\pi}{6}$ является решением, то и все углы, отличающиеся от него на целое число полных оборотов ($2\pi$), также будут решениями. То есть, все числа вида $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), являются решениями. Аналогично для второго корня: все числа вида $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ также будут решениями.

Поскольку множество целых чисел $k$ бесконечно, то и количество решений уравнения бесконечно. Эти серии решений обычно записывают в виде общей формулы, например, для $sin(x) = a$ решением будет $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, наличие хотя бы одного решения у тригонометрического уравнения автоматически порождает бесконечную серию решений благодаря периодической природе соответствующих функций.

Ответ: Тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений из-за периодической природы тригонометрических функций: если $x_0$ является решением, то $x_0$ плюс целое число периодов также является решением.

2. Чем отличается решение тригонометрических уравнений от решений алгебраических уравнений?

Решение тригонометрических уравнений имеет несколько ключевых отличий от решения алгебраических уравнений.

1. Количество решений. Это самое главное отличие.
   • Алгебраические уравнения (например, полиномиальные) обычно имеют конечное число решений. Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом кратности) и не более $n$ действительных корней. Например, уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет два решения: $x=2$ и $x=-2$.
   • Тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений из-за периодичности функций. Исключения составляют уравнения, не имеющие решений (например, $cos(x)=2$), или задачи, где требуется найти решения на ограниченном промежутке.
2. Форма записи ответа.
   • Решения алгебраических уравнений — это конкретные числа или конечный набор чисел.
   • Решения тригонометрических уравнений записываются в виде общих формул (серий решений), содержащих целочисленный параметр (обычно $k$ или $n$). Например, решение уравнения $cos(x) = 0$ записывается как $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта формула описывает все бесконечное множество корней: $\dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
3. Методика решения.
   • Решение алгебраических уравнений сводится к преобразованиям (раскрытие скобок, приведение подобных) с целью изолировать переменную $x$.
   • Решение тригонометрических уравнений часто проходит в два этапа:
     1. Алгебраический этап: Уравнение приводится к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям вида $T(x) = a$, где $T$ — тригонометрическая функция. На этом этапе используются методы, схожие с алгебраическими: замена переменной, разложение на множители и т.д. Например, в уравнении $2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0$ делают замену $t = sin(x)$ и решают квадратное уравнение $2t^2 - t - 1 = 0$.
     2. Тригонометрический этап: Решаются простейшие уравнения, полученные на первом шаге (например, $sin(x)=1$ и $sin(x)=-\frac{1}{2}$). На этом этапе используются обратные тригонометрические функции (аркфункции) для нахождения "главных" значений, а затем, с учетом периода, записывается общая формула для всех решений.

Ответ: Основные отличия заключаются в количестве решений (бесконечное у тригонометрических против конечного у алгебраических), форме записи ответа (общие формулы с параметром против конкретных чисел) и специфическом двухэтапном методе решения тригонометрических уравнений, который включает как алгебраические преобразования, так и использование свойств тригонометрических функций.