Номер 8.7, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (8.7–8.12):

8.7. a) $5\sin^2x + 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 4;$

б) $6\cos^2x + 5\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 7.$

а) Дано уравнение $5\sin^2x + 4\sin(\frac{\pi}{2} + x) = 4$.

Для начала, упростим выражение $\sin(\frac{\pi}{2} + x)$, используя формулу приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} + x)$ находится во второй четверти (если считать $x$ малым острым углом), где синус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть на косинус. Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5\sin^2x + 4\cos x = 4$.

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Это позволит привести уравнение к одной функции.

$5(1 - \cos^2x) + 4\cos x = 4$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 - 5\cos^2x + 4\cos x = 4$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$5\cos^2x - 4\cos x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. При этом нужно помнить, что значения косинуса ограничены, то есть $-1 \le t \le 1$.

$5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Найдем корни $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) $\cos x = 1$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решениями являются $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{5}$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \pm\arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, мы получили две серии решений.

Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\pm\arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $6\cos^2x + 5\cos(\frac{\pi}{2} - x) = 7$.

Сначала упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{2} - x)$ по формуле приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} - x)$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле есть $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на синус: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$.

Подставим это в уравнение:

$6\cos^2x + 5\sin x = 7$.

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, воспользуемся основным тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

$6(1 - \sin^2x) + 5\sin x = 7$.

Раскроем скобки:

$6 - 6\sin^2x + 5\sin x = 7$.

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их:

$-6\sin^2x + 5\sin x - 1 = 0$.

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$.

Введем замену: пусть $y = \sin x$, где $-1 \le y \le 1$.

$6y^2 - 5y + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.

Найдем корни $y_1$ и $y_2$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Оба значения $y$ находятся в интервале $[-1, 1]$, поэтому оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену.

1) $\sin x = \frac{1}{2}$. Это табличное значение. Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{1}{3}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Получили две серии решений.

Ответ: $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.