Номер 8.14, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.14. a) $3\sin^2\frac{x}{3} + 2\cos^2\frac{x}{3} - 7\sin\frac{x}{3} \cdot \cos\frac{x}{3} = 0;$

б) $2\cos^2 3x + \sin^2 3x - 3\sin 3x \cdot \cos 3x = 0.$

а) Дано уравнение $3\sin^2\frac{x}{3} + 2\cos^2\frac{x}{3} - 7\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени.Проверим, является ли $\cos\frac{x}{3} = 0$ решением. Если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{3} = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) + 2(0) - 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $3 = 0$. Значит, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{3}$:$3\frac{\sin^2\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} + 2\frac{\cos^2\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} - 7\frac{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} = 0$.$3\tan^2\frac{x}{3} + 2 - 7\tan\frac{x}{3} = 0$.Перепишем уравнение в стандартном виде $3\tan^2\frac{x}{3} - 7\tan\frac{x}{3} + 2 = 0$ и сделаем замену $t = \tan\frac{x}{3}$:$3t^2 - 7t + 2 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.Выполним обратную замену:1) $\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{3} \implies \frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{3} + \pi k \implies x = 3\arctan\frac{1}{3} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.2) $\tan\frac{x}{3} = 2 \implies \frac{x}{3} = \arctan 2 + \pi n \implies x = 3\arctan 2 + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $3\arctan\frac{1}{3} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $3\arctan 2 + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $2\cos^2(3x) + \sin^2(3x) - 3\sin(3x)\cos(3x) = 0$.Перепишем его, сгруппировав члены: $\sin^2(3x) - 3\sin(3x)\cos(3x) + 2\cos^2(3x) = 0$.Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos(3x) \neq 0$. Если $\cos(3x) = 0$, то $\sin^2(3x) = 1$. Уравнение принимает вид $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos^2(3x)$:$\frac{\sin^2(3x)}{\cos^2(3x)} - 3\frac{\sin(3x)\cos(3x)}{\cos^2(3x)} + 2\frac{\cos^2(3x)}{\cos^2(3x)} = 0$.$\tan^2(3x) - 3\tan(3x) + 2 = 0$.Пусть $t = \tan(3x)$. Получаем квадратное уравнение:$t^2 - 3t + 2 = 0$.По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.Выполним обратную замену:1) $\tan(3x) = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.2) $\tan(3x) = 2 \implies 3x = \arctan 2 + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan 2 + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{1}{3}\arctan 2 + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.