Вопросы, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается решение тригонометрического неравенства от решения алгебраического неравенства?

2. Имеется ли сходство между решением тригонометрического неравенства и тригонометрического уравнения? Ответ обоснуйте.

3. Применяются ли при решении тригонометрических неравенств свойства тригонометрических функций?

1. Основное отличие решения тригонометрического неравенства от алгебраического заключается в характере множества решений, что обусловлено свойствами функций, входящих в неравенство.

Во-первых, тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и т.д.) являются периодическими. Это означает, что если какой-либо интервал является решением неравенства, то существует бесконечное множество таких интервалов, получаемых сдвигом исходного на целое число периодов. Например, решение неравенства $\sin x > 1/2$ имеет вид $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решение алгебраического неравенства, например $x^2 - 1 > 0$, представляет собой конечное число интервалов (здесь $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$) и не повторяется периодически.

Во-вторых, тригонометрические функции, такие как синус и косинус, ограничены. Их значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Это свойство может сразу определить, имеет ли неравенство решение. Например, неравенство $\cos x > 3$ не имеет решений, а неравенство $\sin x < 2$ выполняется для любого значения $x$. Алгебраические функции (например, многочлены) обычно не ограничены.

В-третьих, методы решения отличаются. Для алгебраических неравенств часто используется метод интервалов на числовой прямой. Для тригонометрических — графический метод (с использованием графика функции) или метод с использованием тригонометрической окружности, на которой отмечаются дуги, соответствующие решению, с последующим обобщением с учетом периода.

Ответ: Главное отличие состоит в том, что из-за периодичности тригонометрических функций их решения, как правило, представляют собой бесконечную совокупность интервалов, в то время как решения алгебраических неравенств обычно являются конечным набором интервалов.

2. Да, между решением тригонометрического неравенства и тригонометрического уравнения существует значительное сходство. Оно заключается в том, что первым шагом при решении большинства тригонометрических неравенств является решение соответствующего тригонометрического уравнения.

Обоснование: Рассмотрим неравенство вида $f(x) > 0$ (или $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$, $f(x) \le 0$), где $f(x)$ — тригонометрическое выражение. Чтобы найти интервалы, на которых функция $f(x)$ сохраняет знак (положительна или отрицательна), нужно сначала найти точки, в которых она может менять знак. Такими точками являются корни уравнения $f(x) = 0$.

Например, чтобы решить неравенство $\cos x \le 1/2$, мы сначала решаем уравнение $\cos x = 1/2$. Его решения $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки разбивают тригонометрическую окружность (или числовую прямую) на интервалы. Далее, выбрав пробную точку в каждом из этих интервалов, мы определяем, где выполняется исходное неравенство. Таким образом, найденные корни уравнения служат границами для искомых интервалов-решений неравенства. Этот подход является аналогом метода интервалов, применяемого в алгебре.

Ответ: Да, сходство есть. Решение соответствующего тригонометрического уравнения является ключевым этапом в решении тригонометрического неравенства, так как его корни определяют границы интервалов, на которых нужно искать решения неравенства.

3. Да, при решении тригонометрических неравенств активно применяются свойства тригонометрических функций. Без их использования решение было бы невозможным или крайне затруднительным. Ключевые свойства, которые используются: периодичность (самое важное свойство, позволяющее обобщить решение, найденное на одном периоде, на всю числовую прямую); ограниченность (свойство $|\sin x| \le 1$ и $|\cos x| \le 1$ позволяет сразу делать выводы о наличии или отсутствии решений, как в случаях $\sin x > 1$ или $\cos x \ge -1$); монотонность (знание промежутков возрастания и убывания функции помогает при сравнении аргументов); четность и нечетность (например, $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$ используются для упрощения выражений); тригонометрические тождества (формулы приведения, двойного угла, основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и т.д. применяются для преобразования неравенства к более простому виду).

Ответ: Да, безусловно применяются. Свойства периодичности, ограниченности, монотонности, четности/нечетности и различные тригонометрические тождества являются фундаментальным инструментом при решении тригонометрических неравенств.