Номер 9.4, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.4. a) $\operatorname{ctg}\frac{x}{2} \ge 1$, $x \in (0; \pi);$

б) $\operatorname{tg}4x > -\sqrt{3}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right).$

а) Решим неравенство $ctg\frac{x}{2} \ge 1$ на интервале $x \in (0; \pi)$.

Введем замену: пусть $t = \frac{x}{2}$.

Найдем новый интервал для переменной $t$. Так как $0 < x < \pi$, то $\frac{0}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Теперь неравенство имеет вид $ctg(t) \ge 1$ для $t \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Общее решение неравенства $ctg(t) \ge 1$ имеет вид $\pi n < t \le arcctg(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, то общее решение: $\pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Выберем решения, принадлежащие интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$.

При $n=0$ получаем $0 < t \le \frac{\pi}{4}$. Этот интервал полностью удовлетворяет условию $t \in (0; \frac{\pi}{2})$.

При других целых значениях $n$ решения не попадают в заданный интервал.

Итак, решение для $t$ есть $0 < t \le \frac{\pi}{4}$.

Вернемся к переменной $x$, зная что $t = \frac{x}{2}$:

$0 < \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{4}$.

Умножим все части неравенства на 2:

$0 < x \le \frac{\pi}{2}$.

Данный интервал $(0; \frac{\pi}{2}]$ полностью входит в исходный интервал $x \in (0; \pi)$.

Ответ: $x \in (0; \frac{\pi}{2}]$.

б) Решим неравенство $tg(4x) > -\sqrt{3}$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Введем замену: пусть $t = 4x$.

Найдем новый интервал для переменной $t$. Так как $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, то $4 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 4x < 4 \cdot \frac{\pi}{2}$, следовательно, $-2\pi < t < 2\pi$.

Теперь неравенство имеет вид $tg(t) > -\sqrt{3}$ для $t \in (-2\pi; 2\pi)$.

Общее решение неравенства $tg(t) > a$ имеет вид $arctg(a) + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\sqrt{3}$, и $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Значит, общее решение: $-\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Выберем решения, принадлежащие интервалу $(-2\pi; 2\pi)$ путем перебора целочисленных значений $n$.

При $n = -2$: $-\frac{7\pi}{3} < t < -\frac{3\pi}{2}$. Учитывая интервал $(-2\pi; 2\pi)$, получаем $-2\pi < t < -\frac{3\pi}{2}$.

При $n = -1$: $-\frac{4\pi}{3} < t < -\frac{\pi}{2}$.

При $n = 0$: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{2}$.

При $n = 1$: $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{3\pi}{2}$.

При $n = 2$: $\frac{5\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{2}$. Учитывая интервал $(-2\pi; 2\pi)$, получаем $\frac{5\pi}{3} < t < 2\pi$.

Объединяя найденные интервалы для $t$, получаем: $t \in (-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{3}; 2\pi)$.

Вернемся к переменной $x$, зная что $x = \frac{t}{4}$. Разделим концы найденных интервалов на 4:

$x \in (-\frac{2\pi}{4}; -\frac{3\pi}{8}) \implies x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8})$

$x \in (-\frac{4\pi}{12}; -\frac{\pi}{8}) \implies x \in (-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{8})$

$x \in (-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{8})$

$x \in (\frac{2\pi}{12}; \frac{3\pi}{8}) \implies x \in (\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{8})$

$x \in (\frac{5\pi}{12}; \frac{2\pi}{4}) \implies x \in (\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{2})$

Все полученные интервалы лежат внутри исходного интервала $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}) \cup (-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{8}) \cup (-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{8}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{8}) \cup (\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{2})$.