Номер 9.8, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.8. a) $\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \leqslant 1;$

б) $2\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \leqslant \sqrt{2};$

в) $3\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)>\sqrt{3};$

г) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)<-1.$

а) Исходное неравенство: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2} + x) \le 1$.

Сначала применим формулу приведения для синуса: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$. Это верно, так как при добавлении $\frac{\pi}{2}$ к аргументу синус меняется на косинус, а знак сохраняется, поскольку во второй четверти синус положителен.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{2}\cos(x) \le 1$.

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$: $\cos(x) \le \frac{1}{\sqrt{2}}$, что то же самое, что $\cos(x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для решения этого тригонометрического неравенства рассмотрим единичную окружность. Нам нужны углы $x$, для которых абсцисса (косинус) точки на окружности не больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В пределах одного оборота $[0, 2\pi]$ это $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$.

Косинус будет меньше или равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на дуге от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ включительно, двигаясь против часовой стрелки.

Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $2\cos(\frac{\pi}{2} - x) \le \sqrt{2}$.

Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$. Функция меняется на синус, знак сохраняется, так как в первой четверти косинус положителен.

Неравенство принимает вид: $2\sin(x) \le \sqrt{2}$.

Разделим обе части на 2: $\sin(x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим на единичной окружности. Нам нужны углы $x$, для которых ордината (синус) точки на окружности не больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В пределах одного оборота это $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Синус будет меньше или равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на дуге, которая начинается от $\frac{3\pi}{4}$ и идет по часовой стрелке до $\frac{\pi}{4}$.

Общее решение можно записать, используя период $2\pi$. Один из способов — это представить решение в виде интервала: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Заметим, что $-\frac{5\pi}{4}$ это то же самое, что $\frac{3\pi}{4} - 2\pi$).

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $3\cot(\frac{\pi}{2} - x) > \sqrt{3}$.

Применим формулу приведения для котангенса: $\cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan(x)$.

Неравенство принимает вид: $3\tan(x) > \sqrt{3}$.

Разделим обе части на 3: $\tan(x) > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем угол, для которого $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это $x = \frac{\pi}{6}$.

Функция $\tan(x)$ является возрастающей на своих интервалах определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Вертикальная асимптота находится в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тангенс будет больше $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале от $\frac{\pi}{6}$ до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение: $\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное неравенство: $\tan(\frac{\pi}{2} + x) < -1$.

Применим формулу приведения для тангенса: $\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot(x)$.

Неравенство принимает вид: $-\cot(x) < -1$.

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\cot(x) > 1$.

Найдем угол, для которого $\cot(x) = 1$. Это $x = \frac{\pi}{4}$.

Функция $\cot(x)$ является убывающей на своих интервалах определения $(\pi n, \pi(n+1))$. Вертикальная асимптота находится в точке $x=0$ (и кратных $\pi$).

Так как функция убывающая, $\cot(x)$ будет больше 1 для углов, которые меньше $\frac{\pi}{4}$, но больше асимптоты $0$.

Учитывая периодичность котангенса (период $\pi$), общее решение: $\pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.