Номер 6, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите неравенство $ \text{tg}x \le \sqrt{3} $:

A) $ \left[-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

B) $ \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

C) $ \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

D) $ \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}. $

Чтобы решить неравенство $tgx \le \sqrt{3}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции $y = tgx$. Тангенс определен для всех $x$, при которых $cosx \ne 0$. Это означает, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика функции.

2. Решить соответствующее уравнение $tgx = \sqrt{3}$. Главное значение угла, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $x = \frac{\pi}{3}$. Учитывая периодичность функции тангенса, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

3. Найти решение неравенства на одном периоде. Функция $y = tgx$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале значение $tgx$ увеличивается от $-\infty$ до $+\infty$.

Нам нужно найти все $x$ из этого интервала, для которых $tgx \le \sqrt{3}$. Поскольку функция возрастает, это условие будет выполняться для всех $x$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{3}$, но больше, чем $-\frac{\pi}{2}$ (левая граница интервала, где находится асимптота).

Таким образом, решение на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ представляет собой промежуток $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$. Скобка у $-\frac{\pi}{2}$ круглая, так как в этой точке функция не определена. Скобка у $\frac{\pi}{3}$ квадратная, так как неравенство нестрогое ($\le$).

4. Обобщить решение. Так как период функции тангенса равен $\pi$, мы добавляем $\pi n$ к границам полученного промежутка, чтобы охватить все решения:

$x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n]$, где $n \in Z$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in Z$.