Номер 11, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Решите уравнение $4 \sin^2x = \cos^2x$:

A) $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$;

B) $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$;

C) $\pm \operatorname{arctg}2 + \pi n, n \in Z$;

D) $\pm \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in Z$.

Дано тригонометрическое уравнение: $4\sin^2x = \cos^2x$.

Для решения этого уравнения преобразуем его к уравнению относительно тангенса. Для этого разделим обе части уравнения на $\cos^2x$. Сначала необходимо убедиться, что $\cos^2x \ne 0$.

Допустим, $\cos^2x = 0$. Тогда $\cos x = 0$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$ следует, что если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$4 \cdot 1 = 0$

Это приводит к неверному равенству $4=0$. Следовательно, наше допущение неверно, и $\cos x$ не может быть равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$.

$\frac{4\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\cos^2x}{\cos^2x}$

Используя определение тангенса $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получим:

$4\text{tg}^2x = 1$

Выразим из уравнения $\text{tg}^2x$:

$\text{tg}^2x = \frac{1}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\text{tg}\,x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\text{tg}\,x = \pm\frac{1}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух простейших тригонометрических уравнений:

1. $\text{tg}\,x = \frac{1}{2}$

2. $\text{tg}\,x = -\frac{1}{2}$

Решением первого уравнения является серия корней $x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением второго уравнения является серия корней $x = \text{arctg}(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Используя свойство нечетности арктангенса, $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$, это решение можно записать как $x = -\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi k$.

Объединяя обе серии решений, получаем общую формулу для всех корней исходного уравнения:

$x = \pm\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.