Номер 17, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Какому промежутку принадлежат решения квадратного уравнения

$x^2 - 6x + 5 = 0$:

A) $(0; 5)$;

B) $[2; 3];$

C) $(0; 5];$

D) $(1; 6);$

E) $(2; 3)?$

Чтобы определить, какому промежутку принадлежат решения квадратного уравнения, сначала необходимо найти эти решения.

Дано квадратное уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Итак, решениями уравнения являются числа 1 и 5.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, какому промежутку принадлежат оба найденных корня.

A) (0; 5); Этот промежуток (интервал) включает числа, строго большие 0 и строго меньшие 5. Корень $x=1$ принадлежит этому промежутку, но корень $x=5$ ему не принадлежит, так как правая граница не включена. Следовательно, этот вариант не подходит.

B) [2; 3]; Этот промежуток (отрезок) включает числа от 2 до 3 включительно. Ни один из корней, ни 1, ни 5, не принадлежит этому промежутку. Следовательно, этот вариант не подходит.

C) (0; 5]; Этот промежуток (полуинтервал) включает числа, строго большие 0 и меньшие либо равные 5. Корень $x=1$ принадлежит этому промежутку ($0 < 1 \le 5$), и корень $x=5$ также принадлежит ему, так как правая граница включена. Следовательно, этот вариант является правильным.

D) (1; 6); Этот промежуток (интервал) включает числа, строго большие 1 и строго меньшие 6. Корень $x=5$ принадлежит этому промежутку, но корень $x=1$ ему не принадлежит, так как левая граница не включена. Следовательно, этот вариант не подходит.

E) (2; 3)? Этот промежуток является интервалом (2; 3). Ни один из корней, ни 1, ни 5, не принадлежит этому промежутку. Следовательно, этот вариант не подходит.

Ответ: C) (0; 5]