Страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Решите уравнение $4 \sin^2x = \cos^2x$:

A) $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$;

B) $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$;

C) $\pm \operatorname{arctg}2 + \pi n, n \in Z$;

D) $\pm \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in Z$.

Дано тригонометрическое уравнение: $4\sin^2x = \cos^2x$.

Для решения этого уравнения преобразуем его к уравнению относительно тангенса. Для этого разделим обе части уравнения на $\cos^2x$. Сначала необходимо убедиться, что $\cos^2x \ne 0$.

Допустим, $\cos^2x = 0$. Тогда $\cos x = 0$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$ следует, что если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$4 \cdot 1 = 0$

Это приводит к неверному равенству $4=0$. Следовательно, наше допущение неверно, и $\cos x$ не может быть равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$.

$\frac{4\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\cos^2x}{\cos^2x}$

Используя определение тангенса $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получим:

$4\text{tg}^2x = 1$

Выразим из уравнения $\text{tg}^2x$:

$\text{tg}^2x = \frac{1}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\text{tg}\,x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\text{tg}\,x = \pm\frac{1}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух простейших тригонометрических уравнений:

1. $\text{tg}\,x = \frac{1}{2}$

2. $\text{tg}\,x = -\frac{1}{2}$

Решением первого уравнения является серия корней $x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением второго уравнения является серия корней $x = \text{arctg}(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Используя свойство нечетности арктангенса, $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$, это решение можно записать как $x = -\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi k$.

Объединяя обе серии решений, получаем общую формулу для всех корней исходного уравнения:

$x = \pm\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12. Решите уравнение $\sin x + \cos x = 0$:

A) $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$;

B) $-1$;

C) $1$;

D) $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$sinx + cosx = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения можно разделить обе части уравнения на $cosx$. Прежде чем это сделать, необходимо убедиться, что $cosx \neq 0$.

Предположим, что $cosx = 0$. В этом случае $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. При этих значениях $x$ синус принимает значения $sinx = \pm 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\pm 1 + 0 = 0$

Полученное равенство $\pm 1 = 0$ неверно. Следовательно, $cosx$ не может быть равен нулю, и мы можем безопасно разделить на него обе части уравнения.

Разделим уравнение $sinx + cosx = 0$ на $cosx$:

$\frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{cosx} = \frac{0}{cosx}$

Используя определение тангенса $tanx = \frac{sinx}{cosx}$, получаем:

$tanx + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$tanx = -1$

Теперь найдем общее решение для $x$. Общая формула для решения уравнения $tanx = a$ имеет вид $x = arctan(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $a = -1$.

$x = arctan(-1) + \pi n$

Значение $arctan(-1)$ равно $-\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом А).

Ответ: A) $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

13. Решите двойное неравенство $0 \le \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$:

A) $\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$, $n \in Z$;

B) $\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]$, $n \in Z$;

C) $\left[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right] \cup \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right)$, $n \in Z$;

D) $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]$, $n \in Z$.

Для решения двойного неравенства $0 \le \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ необходимо найти все значения $x$, для которых косинус принимает значения из указанного полуинтервала. Решим это неравенство, разбив его на систему двух неравенств:

$\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Для наглядности будем использовать единичную тригонометрическую окружность. Значение $\cos x$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки на этой окружности.

1. Решим первое неравенство: $\cos x \ge 0$.

Косинус неотрицателен в I и IV координатных четвертях. Углы, соответствующие этим четвертям, лежат в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. С учётом периодичности функции косинуса (период $2\pi$) общее решение этого неравенства записывается как:$x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдём значения $x$, при которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $x = \pm\frac{\pi}{6}$.Неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех точек на окружности, абсцисса которых меньше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга окружности, лежащая левее вертикальной прямой, проходящей через точку $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.На одном обороте ($[0, 2\pi)$) это соответствует интервалу $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Общее решение имеет вид:$x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём пересечение решений.

Нам нужно найти углы, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Рассмотрим пересечение решений на промежутке $[-\pi, \pi]$:

• Из первого неравенства: $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

• Из второго неравенства: $x \in (-\pi, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \pi]$.

Пересечение этих множеств даёт два интервала:

• $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6})$

• $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$

Проверим концы интервалов:

При $x = \pm\frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$. Неравенство $0 \le 0 < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется, значит, эти точки входят в решение.

При $x = \pm\frac{\pi}{6}$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Неравенство $0 \le \frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ не выполняется (из-за строгого знака <), значит, эти точки не входят в решение.

Таким образом, решение на одном периоде — это объединение двух полуинтервалов: $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.Добавив периодичность $2\pi n$, получаем общее решение:

$x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение соответствует варианту ответа D.

Ответ: D

14. Решите уравнение $\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

A) $\pm\frac{x}{2}+4\pi k, k \in Z;$

B) $\frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in Z;$

C) $(-1)^k\frac{\pi}{4}+4\pi k, k \in Z;$

D) $\pm\frac{\pi}{8}+2\pi k, k \in Z.$

Дано тригонометрическое уравнение $ \cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение уравнения вида $ \cos(t) = a $ находится по формуле $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

В данном уравнении аргумент $ t = \frac{x}{2} $ и значение $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем арккосинус. Это табличное значение: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Теперь подставим известные значения в формулу общего решения для аргумента $ \frac{x}{2} $: $ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in Z $.

Для того чтобы найти переменную $ x $, необходимо умножить обе части полученного равенства на 2: $ x = 2 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) = \pm \frac{2\pi}{4} + 4\pi k = \pm \frac{\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in Z $.

Полученное решение $ x = \pm \frac{\pi}{2} + 4\pi k $ не совпадает в точности ни с одним из предложенных вариантов. Однако вариант A) имеет правильную структуру решения для уравнения с косинусом (знак $ \pm $) и верный период ($ 4\pi k $). Наиболее вероятно, в варианте A) допущена опечатка, и вместо $ \frac{x}{2} $ должно быть $ \frac{\pi}{2} $. Учитывая это, данный вариант является единственным подходящим.

Ответ: A

15. Какой процент составляют числа, делящиеся на 5, от чисел последовательности 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20:

A) 50%;

B) 75%;

C) 20%;

D) 25%;

E) 30%?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть от общего количества чисел в последовательности составляют числа, делящиеся на 5, и затем выразить эту часть в процентах.

1. Сначала посчитаем общее количество чисел в предоставленной последовательности: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Всего в последовательности 8 чисел.

2. Далее определим, какие из этих чисел делятся на 5 без остатка. Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. В данной последовательности это числа 15 и 20. Таким образом, у нас есть 2 числа, удовлетворяющих этому условию.

3. Теперь вычислим процентное соотношение. Для этого количество чисел, делящихся на 5, разделим на общее количество чисел в последовательности и умножим результат на 100%.

Формула для расчета процента:$ (\frac{\text{количество подходящих чисел}}{\text{общее количество чисел}}) \times 100\% $

Подставляем наши значения:$ (\frac{2}{8}) \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $

Следовательно, числа, делящиеся на 5, составляют 25% от всех чисел в данной последовательности.

Ответ: 25%

16. Из 400 деталей 15 деталей бракованные. Найдите вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной:

A) $\frac{1}{20}$; B) $\frac{3}{300}$; C) $\frac{3}{80}$; D) $\frac{1}{80}$; E) $\frac{1}{100}$.

Для нахождения вероятности того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $N$.

Формула для расчета вероятности: $P = \frac{m}{N}$.

В данной задаче:

• Общее число всех деталей (общее число исходов) $N = 400$.
• Число бракованных деталей (число благоприятных исходов) $m = 15$.

Подставим известные значения в формулу:

$P = \frac{15}{400}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель (15), и знаменатель (400) делятся на 5.

$P = \frac{15 \div 5}{400 \div 5} = \frac{3}{80}$

Таким образом, вероятность того, что случайным образом выбранная деталь будет бракованной, составляет $\frac{3}{80}$. Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $\frac{3}{80}$

17. Какому промежутку принадлежат решения квадратного уравнения

$x^2 - 6x + 5 = 0$:

A) $(0; 5)$;

B) $[2; 3];$

C) $(0; 5];$

D) $(1; 6);$

E) $(2; 3)?$

Чтобы определить, какому промежутку принадлежат решения квадратного уравнения, сначала необходимо найти эти решения.

Дано квадратное уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Итак, решениями уравнения являются числа 1 и 5.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, какому промежутку принадлежат оба найденных корня.

A) (0; 5); Этот промежуток (интервал) включает числа, строго большие 0 и строго меньшие 5. Корень $x=1$ принадлежит этому промежутку, но корень $x=5$ ему не принадлежит, так как правая граница не включена. Следовательно, этот вариант не подходит.

B) [2; 3]; Этот промежуток (отрезок) включает числа от 2 до 3 включительно. Ни один из корней, ни 1, ни 5, не принадлежит этому промежутку. Следовательно, этот вариант не подходит.

C) (0; 5]; Этот промежуток (полуинтервал) включает числа, строго большие 0 и меньшие либо равные 5. Корень $x=1$ принадлежит этому промежутку ($0 < 1 \le 5$), и корень $x=5$ также принадлежит ему, так как правая граница включена. Следовательно, этот вариант является правильным.

D) (1; 6); Этот промежуток (интервал) включает числа, строго большие 1 и строго меньшие 6. Корень $x=5$ принадлежит этому промежутку, но корень $x=1$ ему не принадлежит, так как левая граница не включена. Следовательно, этот вариант не подходит.

E) (2; 3)? Этот промежуток является интервалом (2; 3). Ни один из корней, ни 1, ни 5, не принадлежит этому промежутку. Следовательно, этот вариант не подходит.

Ответ: C) (0; 5]

18. Числа в таблице составлены по определенной последовательности.

Найдите неизвестное число:

A) 100;

B) 200;

C) 150;

D) 240.

E) 220.

Для решения задачи необходимо определить закономерность в представленной последовательности чисел: 5, 10, 30, 80, ?. Для этого проанализируем разности между соседними членами последовательности.

Шаг 1: Нахождение первых разностей

Вычислим разность между каждым последующим и предыдущим членом последовательности:

$10 - 5 = 5$

$30 - 10 = 20$

$80 - 30 = 50$

Таким образом, мы получили новую последовательность, состоящую из первых разностей: 5, 20, 50.

Шаг 2: Нахождение вторых разностей

Теперь вычислим разности для новой последовательности (5, 20, 50):

$20 - 5 = 15$

$50 - 20 = 30$

Получилась последовательность вторых разностей: 15, 30.

Шаг 3: Определение закономерности

В последовательности вторых разностей (15, 30) видна четкая закономерность: второй член в два раза больше первого ($15 \cdot 2 = 30$). Можно предположить, что для получения следующего члена последовательности нужно умножить предыдущий на следующее по порядку целое число, то есть на 3.

Найдем следующую вторую разность:

$30 \cdot 3 = 90$

Шаг 4: Расчет следующей первой разности

Теперь, когда мы нашли следующую вторую разность (90), мы можем найти следующий член в последовательности первых разностей (5, 20, 50). Для этого к последнему ее члену (50) прибавим 90:

$50 + 90 = 140$

Шаг 5: Расчет неизвестного числа

Наконец, чтобы найти неизвестное число в исходной последовательности, прибавим полученную первую разность (140) к последнему известному члену исходной последовательности (80):

$80 + 140 = 220$

Неизвестное число в последовательности равно 220.

Ответ: 220.