Страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается зависимое событие от независимого?

2. В чем сходство вычисления суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий?

1. Чем отличается зависимое событие от независимого?

Основное различие между зависимыми и независимыми событиями заключается в том, влияет ли наступление одного события на вероятность наступления другого.

Независимые события — это такие события, при которых вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Для двух независимых событий A и B, вероятность того, что они произойдут оба, равна произведению их индивидуальных вероятностей. Математически это записывается как:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Это также означает, что условная вероятность равна безусловной: $P(A|B) = P(A)$.

Пример: Подбрасывание монеты два раза. Пусть событие A — «при первом броске выпал орёл», а событие B — «при втором броске выпал орёл». Результат первого броска никак не влияет на результат второго, поэтому события независимы. Вероятность выпадения двух орлов подряд равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Зависимые события — это события, при которых вероятность наступления одного из них изменяется в зависимости от того, произошло ли другое событие. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B вычисляется с использованием условной вероятности:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

где $P(B|A)$ — это вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.

Пример: Извлечение двух карт из колоды (36 карт) без возвращения. Пусть событие A — «первая вытянутая карта — туз», а событие B — «вторая вытянутая карта — туз». Эти события зависимы. Вероятность события A равна $P(A) = \frac{4}{36}$. Если событие A произошло, то в колоде осталось 35 карт, из которых 3 туза. Тогда условная вероятность события B будет $P(B|A) = \frac{3}{35}$. Если же первая карта была не туз, то $P(B|\text{не A}) = \frac{4}{35}$. Как видно, вероятность события B меняется в зависимости от исхода события A.

Ответ: Ключевое отличие состоит в наличии или отсутствии влияния одного события на вероятность другого. Для независимых событий такого влияния нет, а для зависимых — есть.

2. В чем сходство вычисления суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий?

Сходство заключается в том, что в обоих этих частных случаях формулы для вычисления вероятности сложного события значительно упрощаются и для расчета требуются только вероятности исходных событий.

Рассмотрим оба случая:

1. Сумма вероятностей несовместимых событий.

Несовместимые (несовместные) события — это те, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух несовместимых событий A или B, вычисляется как простая сумма их вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Эта формула является упрощением общей теоремы сложения вероятностей $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, так как для несовместимых событий вероятность их одновременного наступления $P(A \cap B)$ равна нулю.

2. Произведение вероятностей независимых событий.

Как было сказано выше, для независимых событий A и B вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Эта формула является упрощением общей теоремы умножения вероятностей $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, так как для независимых событий условная вероятность $P(B|A)$ равна безусловной вероятности $P(B)$.

Сходство состоит в том, что в обоих случаях (несовместимость для суммы и независимость для произведения) мы можем вычислить вероятность сложного события, используя только вероятности составляющих его простых событий ($P(A)$ и $P(B)$) и простое арифметическое действие (сложение или умножение). Не нужно вычислять условные вероятности или вероятности пересечения, что делает расчеты максимально простыми и прямолинейными.

Ответ: Сходство заключается в том, что в обоих случаях для вычисления вероятности сложного события достаточно знать только вероятности исходных событий и применить к ним простое арифметическое действие (сложение для несовместимых, умножение для независимых), так как более общие формулы значительно упрощаются благодаря условиям несовместимости или независимости.

11.1. Мишень состоит из трех концентрических кругов, образующих три зоны: круг (I) и два кольца (II и III). Вероятность того, что попадание будет в зонах I, II и III, равна, соответственно, 0,45; 0,30; 0,15. Какова вероятность того, что пуля попадет в мишень?

11.1.Мишень состоит из трех непересекающихся зон: центрального круга (I) и двух концентрических колец (II и III). Попадание в мишень означает попадание в одну из этих трех зон.

Введем события:

$A_I$ - попадание в зону I,

$A_{II}$ - попадание в зону II,

$A_{III}$ - попадание в зону III.

По условию задачи, их вероятности равны:

$P(A_I) = 0,45$

$P(A_{II}) = 0,30$

$P(A_{III}) = 0,15$

Событие $M$, заключающееся в том, что пуля попадет в мишень, произойдет, если она попадет в любую из трех зон. Так как зоны не пересекаются, события $A_I$, $A_{II}$ и $A_{III}$ являются несовместными, то есть не могут произойти одновременно.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей. Следовательно, вероятность попадания в мишень равна:

$P(M) = P(A_I) + P(A_{II}) + P(A_{III})$

Подставляем значения:

$P(M) = 0,45 + 0,30 + 0,15 = 0,90$

Ответ: 0,90.

11.2. Вероятность того, что день будет ясным: $p = 0,75$. Найдите вероятность $q$ того, что день будет облачным.

События "день будет ясным" и "день будет облачным" являются противоположными. В теории вероятностей сумма вероятностей двух противоположных событий всегда равна 1.

Пусть $p$ — это вероятность того, что день будет ясным, а $q$ — вероятность того, что день будет облачным.

Согласно свойству противоположных событий, их сумма вероятностей равна единице: $p + q = 1$

Из условия задачи нам известно, что $p = 0,75$. Чтобы найти $q$, нужно вычесть $p$ из 1: $q = 1 - p$

Подставим известное значение $p$: $q = 1 - 0,75 = 0,25$

Таким образом, вероятность того, что день будет облачным, равна 0,25.

Ответ: 0,25

11.3. На заочное отделение университета поступают контрольные работы из городов А, В и С. Вероятность поступления из города А равна 0,6, из города В — 0,1. Найдите вероятность того, что очередная работа поступит из города С.

Пусть событие А заключается в том, что контрольная работа поступила из города А, событие B — из города B, а событие C — из города C. По условию задачи, контрольные работы могут поступать только из этих трех городов. Это означает, что события A, B и C образуют полную группу событий. Они также являются несовместными, так как одна и та же работа не может поступить из разных городов одновременно.

Для полной группы несовместных событий сумма их вероятностей равна 1. Математически это выражается формулой:

$P(A) + P(B) + P(C) = 1$

Нам известны вероятности поступления работ из городов А и В:

$P(A) = 0,6$

$P(B) = 0,1$

Подставим эти значения в формулу и найдем искомую вероятность $P(C)$:

$0,6 + 0,1 + P(C) = 1$

$0,7 + P(C) = 1$

Чтобы найти $P(C)$, вычтем 0,7 из обеих частей уравнения:

$P(C) = 1 - 0,7$

$P(C) = 0,3$

Следовательно, вероятность того, что очередная работа поступит из города C, составляет 0,3.

Ответ: 0,3

11.4. Подбросили две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется больше пяти?

79

При броске двух стандартных игральных костей (кубиков с шестью гранями) общее число всех возможных исходов можно найти, перемножив количество вариантов для каждой кости. Поскольку у каждой кости 6 граней, общее число комбинаций равно $6 \times 6 = 36$. Все эти исходы равновероятны.

Пусть событие $A$ заключается в том, что сумма выпавших очков больше пяти. Чтобы найти вероятность этого события, нужно найти количество благоприятных исходов и разделить его на общее число исходов.

Для решения задачи удобнее использовать метод от противного. Найдем вероятность противоположного события $A'$, которое заключается в том, что сумма выпавших очков меньше или равна пяти ($ \le 5 $).

Перечислим все пары чисел, которые могут выпасть на двух костях, и сумма которых не превышает 5:

- Сумма равна 2: (1, 1) – 1 исход.

- Сумма равна 3: (1, 2), (2, 1) – 2 исхода.

- Сумма равна 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) – 3 исхода.

- Сумма равна 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) – 4 исхода.

Общее количество исходов, благоприятствующих событию $A'$, равно сумме найденных исходов:

$m' = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Таким образом, существует 10 исходов, при которых сумма очков меньше или равна 5.

Количество исходов, благоприятствующих искомому событию $A$ (сумма больше 5), равно разности общего числа исходов и числа исходов для события $A'$:

$m = 36 - 10 = 26$

Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{26}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(A) = \frac{13}{18}$

Ответ: $\frac{13}{18}$