Вопросы, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается зависимое событие от независимого?

2. В чем сходство вычисления суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий?

1. Чем отличается зависимое событие от независимого?

Основное различие между зависимыми и независимыми событиями заключается в том, влияет ли наступление одного события на вероятность наступления другого.

Независимые события — это такие события, при которых вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Для двух независимых событий A и B, вероятность того, что они произойдут оба, равна произведению их индивидуальных вероятностей. Математически это записывается как:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Это также означает, что условная вероятность равна безусловной: $P(A|B) = P(A)$.

Пример: Подбрасывание монеты два раза. Пусть событие A — «при первом броске выпал орёл», а событие B — «при втором броске выпал орёл». Результат первого броска никак не влияет на результат второго, поэтому события независимы. Вероятность выпадения двух орлов подряд равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Зависимые события — это события, при которых вероятность наступления одного из них изменяется в зависимости от того, произошло ли другое событие. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B вычисляется с использованием условной вероятности:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

где $P(B|A)$ — это вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.

Пример: Извлечение двух карт из колоды (36 карт) без возвращения. Пусть событие A — «первая вытянутая карта — туз», а событие B — «вторая вытянутая карта — туз». Эти события зависимы. Вероятность события A равна $P(A) = \frac{4}{36}$. Если событие A произошло, то в колоде осталось 35 карт, из которых 3 туза. Тогда условная вероятность события B будет $P(B|A) = \frac{3}{35}$. Если же первая карта была не туз, то $P(B|\text{не A}) = \frac{4}{35}$. Как видно, вероятность события B меняется в зависимости от исхода события A.

Ответ: Ключевое отличие состоит в наличии или отсутствии влияния одного события на вероятность другого. Для независимых событий такого влияния нет, а для зависимых — есть.

2. В чем сходство вычисления суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий?

Сходство заключается в том, что в обоих этих частных случаях формулы для вычисления вероятности сложного события значительно упрощаются и для расчета требуются только вероятности исходных событий.

Рассмотрим оба случая:

1. Сумма вероятностей несовместимых событий.

Несовместимые (несовместные) события — это те, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух несовместимых событий A или B, вычисляется как простая сумма их вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Эта формула является упрощением общей теоремы сложения вероятностей $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, так как для несовместимых событий вероятность их одновременного наступления $P(A \cap B)$ равна нулю.

2. Произведение вероятностей независимых событий.

Как было сказано выше, для независимых событий A и B вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Эта формула является упрощением общей теоремы умножения вероятностей $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, так как для независимых событий условная вероятность $P(B|A)$ равна безусловной вероятности $P(B)$.

Сходство состоит в том, что в обоих случаях (несовместимость для суммы и независимость для произведения) мы можем вычислить вероятность сложного события, используя только вероятности составляющих его простых событий ($P(A)$ и $P(B)$) и простое арифметическое действие (сложение или умножение). Не нужно вычислять условные вероятности или вероятности пересечения, что делает расчеты максимально простыми и прямолинейными.

Ответ: Сходство заключается в том, что в обоих случаях для вычисления вероятности сложного события достаточно знать только вероятности исходных событий и применить к ним простое арифметическое действие (сложение для несовместимых, умножение для независимых), так как более общие формулы значительно упрощаются благодаря условиям несовместимости или независимости.