Номер 11.5, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.5. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что:

1) оба стрелка попадут в цель;

2) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие A – первый стрелок попал в цель. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,9$.

Событие B – второй стрелок попал в цель. По условию, вероятность этого события $P(B) = 0,8$.

Так как стрелки стреляют независимо друг от друга, события A и B являются независимыми.

1) оба стрелка попадут в цель;

Событие, при котором оба стрелка попадают в цель, является произведением (пересечением) независимых событий A и B. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Формула для расчета: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Подставим значения в формулу:

$P(A \cap B) = 0,9 \times 0,8 = 0,72$.

Ответ: 0,72

2) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Событие "хотя бы один стрелок попадет в цель" означает, что произойдет или событие A, или событие B, или оба события вместе. Это соответствует сумме (объединению) событий A и B.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Вероятность совместного наступления событий $P(A \cap B)$ мы уже вычислили в первом пункте, она равна 0,72.

Подставим известные значения:

$P(A \cup B) = 0,9 + 0,8 - 0,72 = 1,7 - 0,72 = 0,98$.

Также эту задачу можно решить другим способом. Событие "хотя бы один стрелок попадет в цель" является противоположным событию "оба стрелка промахнутся".

Найдем вероятности промаха для каждого стрелка:

Вероятность промаха первого стрелка: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$.

Вероятность промаха второго стрелка: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность того, что оба стрелка промахнутся (так как события независимы), равна произведению вероятностей их промахов:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,1 \times 0,2 = 0,02$.

Искомая вероятность того, что хотя бы один попадет, равна разности единицы и вероятности того, что оба промахнутся:

$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,02 = 0,98$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 0,98