Страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.5. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что:

1) оба стрелка попадут в цель;

2) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие A – первый стрелок попал в цель. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,9$.

Событие B – второй стрелок попал в цель. По условию, вероятность этого события $P(B) = 0,8$.

Так как стрелки стреляют независимо друг от друга, события A и B являются независимыми.

1) оба стрелка попадут в цель;

Событие, при котором оба стрелка попадают в цель, является произведением (пересечением) независимых событий A и B. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Формула для расчета: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Подставим значения в формулу:

$P(A \cap B) = 0,9 \times 0,8 = 0,72$.

Ответ: 0,72

2) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Событие "хотя бы один стрелок попадет в цель" означает, что произойдет или событие A, или событие B, или оба события вместе. Это соответствует сумме (объединению) событий A и B.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Вероятность совместного наступления событий $P(A \cap B)$ мы уже вычислили в первом пункте, она равна 0,72.

Подставим известные значения:

$P(A \cup B) = 0,9 + 0,8 - 0,72 = 1,7 - 0,72 = 0,98$.

Также эту задачу можно решить другим способом. Событие "хотя бы один стрелок попадет в цель" является противоположным событию "оба стрелка промахнутся".

Найдем вероятности промаха для каждого стрелка:

Вероятность промаха первого стрелка: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$.

Вероятность промаха второго стрелка: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность того, что оба стрелка промахнутся (так как события независимы), равна произведению вероятностей их промахов:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,1 \times 0,2 = 0,02$.

Искомая вероятность того, что хотя бы один попадет, равна разности единицы и вероятности того, что оба промахнутся:

$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,02 = 0,98$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 0,98

11.6. Подбрасываются одновременно два кубика. Какова вероятность того, что одновременно выпадут две четверки?

Для определения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число всех возможных исходов при броске двух кубиков. У каждого кубика 6 граней, поэтому при броске одного кубика возможно 6 исходов. Так как кубики бросаются одновременно и независимо друг от друга, общее число комбинаций выпавших очков равно произведению числа исходов для каждого кубика.

Общее число исходов $N$ равно: $N = 6 \times 6 = 36$.

Далее определим число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является событие, когда на обоих кубиках одновременно выпали четверки. Такая комбинация только одна: (4 на первом кубике, 4 на втором кубике).

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, подставив значения $m$ и $N$ в формулу:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

11.7. Вероятность того, что взятое наугад изделие фабрики является пригодным, равна $\frac{92}{100}$; вероятность того, что взятое наугад годное изделие является изделием первого сорта, равна $\frac{72}{100}$. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие фабрики является изделием первого сорта?

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:

A – событие, состоящее в том, что взятое наугад изделие фабрики является пригодным (или годным).

B – событие, состоящее в том, что взятое наугад изделие фабрики является изделием первого сорта.

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:

1. Вероятность того, что случайно выбранное изделие является пригодным: $P(A) = \frac{92}{100}$.

2. Вероятность того, что случайно выбранное годное изделие является изделием первого сорта. Это условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. Она обозначается как $P(B|A)$ и равна $P(B|A) = \frac{72}{100}$.

Требуется найти вероятность того, что взятое наугад изделие фабрики является изделием первого сорта, то есть найти $P(B)$.

Событие "взятое наугад изделие является первосортным" (событие B) по своей сути является сложным событием. Оно означает, что одновременно произошли два события: "взятое изделие является пригодным" (событие A) и "это пригодное изделие является первосортным".

Вероятность совместного наступления этих событий (то есть вероятность события B) можно найти по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

Так как любое изделие первого сорта является пригодным, то событие B является подмножеством события A, и их пересечение $A \cap B$ эквивалентно самому событию B. Следовательно, $P(B) = P(A \cap B)$.

Подставим известные значения в формулу:

$P(B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{92}{100} \times \frac{72}{100}$

Выполним вычисления:

$P(B) = \frac{92 \times 72}{100 \times 100} = \frac{6624}{10000}$

Представим полученный результат в виде десятичной дроби:

$P(B) = 0,6624$

Ответ: $0,6624$

11.8. 1) В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих, одинаковых по размеру, шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

2) В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие $B$) или черным (событие $C$)?

1)

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$. Формула выглядит так: $P(A) = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число шаров в урне ($n$):$n = 2 \text{ (белых)} + 3 \text{ (красных)} + 5 \text{ (синих)} = 10$ шаров.

2. Нам нужно найти вероятность того, что извлеченный шар будет цветным, то есть не белым. Это означает, что он может быть либо красным, либо синим. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$):$m = 3 \text{ (красных)} + 5 \text{ (синих)} = 8$ шаров.

3. Теперь вычислим искомую вероятность:$P(\text{цветной}) = \frac{m}{n} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Ответ: $\frac{4}{5}$ или $0.8$.

2)

Эту задачу решим с помощью формулы полной вероятности. Пусть событие $A$ — это извлечение белого шара вторым по счету. Это событие может произойти после одного из двух несовместных событий (гипотез):

• Событие $B$: первым из урны удалили белый шар.
• Событие $C$: первым из урны удалили черный шар.

Формула полной вероятности для события $A$ имеет вид:$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(C) \cdot P(A|C)$,где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, а $P(A|C)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $C$.

1. Изначально в урне 7 белых и 3 черных шара, всего $7+3=10$ шаров.Найдем вероятности гипотез $B$ и $C$:Вероятность того, что первым удалили белый шар: $P(B) = \frac{7}{10}$.Вероятность того, что первым удалили черный шар: $P(C) = \frac{3}{10}$.

2. Теперь найдем условные вероятности.Если первым удалили белый шар (произошло событие $B$), то в урне осталось 6 белых и 3 черных шара, всего 9 шаров. Вероятность извлечь после этого белый шар:$P(A|B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Если первым удалили черный шар (произошло событие $C$), то в урне осталось 7 белых и 2 черных шара, всего 9 шаров. Вероятность извлечь после этого белый шар:$P(A|C) = \frac{7}{9}$.

3. Подставим все найденные значения в формулу полной вероятности:$P(A) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42+21}{90} = \frac{63}{90}$.

4. Сократим полученную дробь:$\frac{63}{90} = \frac{63 \div 9}{90 \div 9} = \frac{7}{10} = 0.7$.

Интересно отметить, что вероятность извлечь белый шар вторым оказалась такой же, как и вероятность извлечь его первым.

Ответ: $\frac{7}{10}$ или $0.7$.

11.9. В урне находятся 4 белых и 7 черных шаров. Вынимают последовательно два шара, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй — черным?

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Обозначим события:

Событие A: «первый вынутый шар – белый».

Событие B: «второй вынутый шар – черный».

Мы ищем вероятность того, что оба эти события произойдут, то есть $P(A \text{ и } B)$. Эта вероятность вычисляется по формуле условной вероятности: $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A)$, где $P(B|A)$ – вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

1. Найдем вероятность события A.

Изначально в урне находится 4 белых и 7 черных шаров. Общее количество шаров: $4 + 7 = 11$.

Вероятность вынуть первым белый шар равна отношению числа белых шаров к общему числу шаров:

$P(A) = \frac{4}{11}$

2. Найдем вероятность события B при условии, что событие A произошло ($P(B|A)$).

После того как вынули один белый шар (событие A произошло), в урне осталось на один шар меньше. Теперь в ней 3 белых и 7 черных шаров. Общее количество оставшихся шаров: $11 - 1 = 10$.

Вероятность вынуть вторым черный шар при условии, что первым был белый, равна отношению числа черных шаров к новому общему числу шаров:

$P(B|A) = \frac{7}{10}$

3. Найдем искомую вероятность.

Теперь перемножим вероятности этих двух событий, чтобы найти вероятность их совместного наступления:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{10} = \frac{4 \cdot 7}{11 \cdot 10} = \frac{28}{110}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{28}{110} = \frac{14}{55}$

Ответ: $\frac{14}{55}$

1. События, которые в результате испытания могут наступить одновременно, называются:

А) достоверными;

В) невозможными;

С) несовместимыми;

D) противоположными;

Е) равновозможными.

1. Для решения этой задачи необходимо определить, какой термин из теории вероятностей соответствует описанию. В вопросе дано определение событий, которые могут наступить одновременно в результате одного испытания.

В теории вероятностей используются следующие ключевые определения:

- Совместные события: события, которые могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Например, при извлечении карты из колоды события "выпала дама" и "выпала карта червовой масти" являются совместными, так как можно извлечь даму червей.

- Несовместные события: события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Появление одного из них исключает появление другого. Например, при броске игральной кости события "выпало 1 очко" и "выпало 6 очков" несовместны.

Вопрос в задании: "События, которые в результате испытания могут наступить одновременно, называются:" является точным определением совместных событий.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

А) достоверными — это события, которые гарантированно произойдут.

В) невозможными — это события, которые никогда не произойдут.

С) несовместимыми — это события, которые как раз не могут наступить одновременно.

D) противоположными — это частный случай несовместных событий, они также не могут наступить одновременно.

Е) равновозможными — это события, имеющие одинаковую вероятность наступления, что не связано с их возможностью происходить вместе.

Таким образом, среди предложенных вариантов нет правильного ответа на поставленный вопрос в его исходной формулировке. Термин "совместные" отсутствует. Однако вариант С) "несовместимыми" является прямым антонимом и описывает противоположную ситуацию.

Наиболее вероятно, что в условии вопроса была допущена опечатка и пропущена частица "не". Если бы вопрос звучал так: "События, которые в результате испытания не могут наступить одновременно, называются:", то правильным ответом был бы вариант С), так как это является точным определением несовместных событий. В рамках стандартных тестов по теории вероятностей именно это определение проверяется чаще всего.

Исходя из этого предположения, мы даем ответ на наиболее вероятный, скорректированный вопрос.

Ответ: С) несовместимыми.

2. События, которые в данном опыте наступят обязательно, называются:

A) достоверными;

B) невозможными;

C) несовместимыми;

D) противоположными;

E) равновозможными.

В теории вероятностей рассматриваются различные типы событий в зависимости от того, могут ли они произойти в результате определенного опыта (эксперимента). Вопрос заключается в том, чтобы найти правильный термин для событий, которые происходят с абсолютной гарантией. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

A) достоверными

Достоверным событием называется событие, которое непременно произойдет в результате данного опыта. Его вероятность равна единице: $P(\text{достоверное событие}) = 1$. Например, если из ящика, в котором лежат только белые шары, вынуть один шар, то событие "вынутый шар — белый" является достоверным. Это определение в точности совпадает с условием вопроса.

B) невозможными

Невозможным событием называется событие, которое в данном опыте произойти не может. Его вероятность равна нулю: $P(\text{невозможное событие}) = 0$. Например, событие "выпадение 7 очков" при броске стандартного шестигранного игрального кубика является невозможным. Это понятие противоположно искомому.

C) несовместимыми

Несовместимыми (или взаимоисключающими) называют два или более события, если наступление одного из них исключает наступление других в том же самом опыте. Например, при одном броске монеты события "выпал орёл" и "выпала решка" несовместимы. Этот термин описывает отношение между несколькими событиями, а не характеристику одного единственного события.

D) противоположными

Событие $\bar{A}$ называется противоположным событию $A$, если оно заключается в том, что событие $A$ не наступает. Сумма их вероятностей равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Например, для события "при броске кубика выпало чётное число" противоположным будет событие "при броске кубика выпало нечётное число". Этот термин также описывает пару событий, а не одно гарантированное событие.

E) равновозможными

Равновозможными называют события, которые имеют одинаковые шансы на осуществление. То есть их вероятности равны. Например, при броске симметричной монеты события "выпал орёл" и "выпала решка" равновозможны. Это свойство сравнивает вероятности разных исходов, но не гарантирует наступление какого-либо из них.

Таким образом, единственным термином, который точно описывает события, которые в данном опыте наступят обязательно, является "достоверные".

Ответ: А) достоверными