Страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.8. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на непрерывность:

а) $y = \frac{25}{x^2 + 25}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 4x + 4}$;

в) $y = \frac{4x}{x^2 + x}$;

г) $y = \frac{x}{1 - \cos x}$.

Для исследования функции на непрерывность необходимо найти ее область определения. Точки, не входящие в область определения, являются точками разрыва. Затем нужно классифицировать эти точки разрыва, вычислив односторонние пределы в этих точках.

• Если пределы слева и справа конечны и равны друг другу ($\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$, где $L$ — число), то точка $x=a$ является точкой устранимого разрыва (разрыва первого рода).
• Если пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу ($\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$), то это разрыв первого рода (типа "скачок").
• Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности ($\infty$ или $-\infty$) или не существует, то точка $x=a$ является точкой разрыва второго рода.

а) $y = \frac{25}{x^2 + 25}$

Данная функция является рациональной. Она непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не равен нулю. Найдем точки, в которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 + 25 = 0$

$x^2 = -25$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, знаменатель $x^2 + 25$ никогда не равен нулю.

Таким образом, функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: функция непрерывна для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Точек разрыва нет.

б) $y = \frac{1}{x^2 + 4x + 4}$

Найдем точки, в которых знаменатель функции равен нулю.

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x+2)^2 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

Функция не определена в точке $x = -2$, следовательно, в этой точке она имеет разрыв. Чтобы определить тип разрыва, найдем предел функции при $x$, стремящемся к $-2$.

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 + 4x + 4} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{(x+2)^2}$

Поскольку при $x \to -2$ знаменатель $(x+2)^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным, а числитель равен 1, то предел равен $+\infty$.

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{(x+2)^2} = \left(\frac{1}{+0}\right) = +\infty$

Так как предел в точке $x = -2$ равен бесконечности, это точка разрыва второго рода.

Ответ: функция имеет разрыв второго рода в точке $x = -2$. Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

в) $y = \frac{4x}{x^2 + x}$

Найдем точки, в которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + x = 0$

$x(x+1) = 0$

Отсюда получаем две точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. В этих точках функция имеет разрывы. Исследуем каждую точку.

1. Точка $x = -1$. Найдем предел:

$\lim_{x \to -1} \frac{4x}{x(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{4}{x+1}$

Вычислим односторонние пределы:

$\lim_{x \to -1^-} \frac{4}{x+1} = \left(\frac{4}{-0}\right) = -\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{4}{x+1} = \left(\frac{4}{+0}\right) = +\infty$

Поскольку односторонние пределы бесконечны, точка $x = -1$ является точкой разрыва второго рода.

2. Точка $x = 0$. Найдем предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{4x}{x(x+1)}$

При $x \to 0$, $x \neq 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{4}{x+1} = \frac{4}{0+1} = 4$

Предел в точке $x = 0$ существует и конечен. Следовательно, $x = 0$ — точка устранимого разрыва (разрыва первого рода).

Ответ: функция имеет устранимый разрыв в точке $x=0$ и разрыв второго рода в точке $x=-1$.

г) $y = \frac{x}{1 - \cos x}$

Функция является отношением двух непрерывных функций и имеет разрывы в точках, где знаменатель равен нулю.

$1 - \cos x = 0$

$\cos x = 1$

Решения этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это точки разрыва функции. Исследуем характер разрыва в этих точках, найдя предел $\lim_{x \to 2\pi k} \frac{x}{1 - \cos x}$.

При $x \to 2\pi k$, числитель $x$ стремится к $2\pi k$, а знаменатель $1 - \cos x$ стремится к 0. Заметим, что $\cos x \le 1$, поэтому $1 - \cos x \ge 0$. Знаменатель стремится к 0, оставаясь неотрицательным.

1. Случай $k=0$, то есть точка $x=0$.

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \cos x}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся правилом Лопиталя:

$\lim_{x \to 0} \frac{(x)'}{(1 - \cos x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x}$

Этот предел не существует. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sin x} = \left(\frac{1}{-0}\right) = -\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} = \left(\frac{1}{+0}\right) = +\infty$

Пределы бесконечны, значит, в точке $x = 0$ разрыв второго рода.

2. Случай $k \neq 0$ ($k \in \mathbb{Z}$).

$\lim_{x \to 2\pi k} \frac{x}{1 - \cos x} = \left(\frac{2\pi k}{+0}\right)$

Если $k > 0$ (например, $2\pi, 4\pi, ...$), то $2\pi k > 0$, и предел равен $+\infty$.

Если $k < 0$ (например, $-2\pi, -4\pi, ...$), то $2\pi k < 0$, и предел равен $-\infty$.

В обоих случаях предел бесконечен. Следовательно, все точки вида $x = 2\pi k$ при $k \neq 0$ также являются точками разрыва второго рода.

Ответ: функция имеет разрывы второго рода в точках $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

12.9. Приведите пример функции, являющейся непрерывной:

а) в каждой точке числовой прямой;

б) во всех точках, кроме $x = 0$;

в) во всех точках, кроме $x = 0$ и $x = 1$.

а) Для того чтобы функция была непрерывной в каждой точке числовой прямой, она должна быть определена для всех действительных чисел и не иметь разрывов. Простейшими примерами таких функций являются многочлены. Например, линейная функция $y=kx+b$ или квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$. Также подходят тригонометрические функции $y=\sin(x)$ и $y=\cos(x)$, показательная функция $y=a^x, a>0, a \neq 1$.

Приведем в качестве примера простую степенную функцию $f(x) = x^2$. Эта функция является многочленом, а все многочлены непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$. Ее график — парабола, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ: $f(x) = x^2$.

б) Чтобы функция была непрерывна во всех точках, кроме $x=0$, необходимо, чтобы в точке $x=0$ у функции был разрыв. Самый простой способ создать такой разрыв — это использовать дробно-рациональную функцию, знаменатель которой обращается в ноль при $x=0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Эта функция определена и непрерывна для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. В точке $x=0$ функция не определена, и здесь она имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. График этой функции — гипербола, состоящая из двух ветвей, которые разделены вертикальной асимптотой $x=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x}$.

в) По аналогии с предыдущим пунктом, для создания разрывов в точках $x=0$ и $x=1$, нужно построить функцию, знаменатель которой обращается в ноль в этих точках. Для этого знаменатель должен содержать множители $x$ и $(x-1)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x(x-1)}$. Это дробно-рациональная функция. Она непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x(x-1)$ равен нулю при $x=0$ и $x=1$. В этих точках функция не определена и имеет разрывы второго рода (вертикальные асимптоты). Во всех остальных точках числовой прямой функция непрерывна.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x(x-1)}$.