Страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.7. Найдите приращение функции $y = f(x)$, если значение аргумента при прибавлении приращения аргумента $\Delta x$ равно $x_1$:

a) $f(x)=\sqrt{x}$, $\Delta x = 0,29$, $x_1 = 2,25$;

б) $f(x)=\sqrt{x}$, $\Delta x = 0,25$, $x_1 = 1,69$.

а)

Приращение функции $\Delta y$ вычисляется по формуле $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, где $x_0$ — это начальное значение аргумента, а $\Delta x$ — его приращение.

Из условия задачи известно, что $x_1$ — это значение аргумента после прибавления приращения, то есть $x_1 = x_0 + \Delta x$. Тогда формулу для приращения функции можно записать как $\Delta y = f(x_1) - f(x_0)$.

Начальное значение аргумента $x_0$ можно найти из соотношения: $x_0 = x_1 - \Delta x$.

Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $\Delta x = 0,29$, $x_1 = 2,25$.

1. Вычислим начальное значение аргумента $x_0$:

$x_0 = 2,25 - 0,29 = 1,96$.

2. Найдем значения функции в точках $x_0 = 1,96$ и $x_1 = 2,25$:

$f(x_0) = f(1,96) = \sqrt{1,96} = 1,4$.

$f(x_1) = f(2,25) = \sqrt{2,25} = 1,5$.

3. Теперь вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 1,5 - 1,4 = 0,1$.

Ответ: 0,1.

б)

Решение аналогично пункту а). Используем формулу для приращения функции $\Delta y = f(x_1) - f(x_0)$, предварительно найдя $x_0 = x_1 - \Delta x$.

Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $\Delta x = 0,25$, $x_1 = 1,69$.

1. Вычислим начальное значение аргумента $x_0$:

$x_0 = 1,69 - 0,25 = 1,44$.

2. Найдем значения функции в точках $x_0 = 1,44$ и $x_1 = 1,69$:

$f(x_0) = f(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$.

$f(x_1) = f(1,69) = \sqrt{1,69} = 1,3$.

3. Вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 1,3 - 1,2 = 0,1$.

Ответ: 0,1.

13.8. Число жителей страны в момент времени $t$ равно $f(t)$. Каков смысл приращения этой функции при изменении от $t_0$ к $t_0 + \Delta t$?

13.8. По определению, приращение функции $\Delta f$ при изменении ее аргумента $t$ от начального значения $t_0$ до конечного значения $t_0 + \Delta t$ равно разности значений функции в конечной и начальной точках:

$\Delta f = f(t_0 + \Delta t) - f(t_0)$.

В контексте данной задачи:

- Функция $f(t)$ представляет число жителей страны в момент времени $t$.

- $t_0$ — это начальный момент времени.

- $\Delta t$ — это промежуток времени, который прошел с начального момента.

- $t_0 + \Delta t$ — это конечный момент времени.

- $f(t_0)$ — это число жителей страны в начальный момент времени $t_0$.

- $f(t_0 + \Delta t)$ — это число жителей страны в конечный момент времени $t_0 + \Delta t$.

Следовательно, разность $f(t_0 + \Delta t) - f(t_0)$ представляет собой изменение числа жителей страны за промежуток времени $\Delta t$. Это значение показывает, на сколько человек увеличилось (если $\Delta f > 0$) или уменьшилось (если $\Delta f < 0$) население страны за период времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$.

Ответ: Приращение функции $\Delta f = f(t_0 + \Delta t) - f(t_0)$ имеет смысл изменения (прироста или убыли) числа жителей страны за промежуток времени $\Delta t$, начиная с момента $t_0$.

13.9. Температура стержня в точке, находящейся на расстоянии $x$ от его левого конца, равна $f(x)$. Какой физический смысл имеет приращение функции $f(x)$ при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$?

Согласно условию задачи, функция $f(x)$ представляет собой температуру стержня в точке, которая находится на расстоянии $x$ от левого конца стержня. Нам нужно определить физический смысл приращения этой функции при переходе аргумента от значения $x_0$ к значению $x_0 + Δx$.

Приращение функции, обозначаемое как $Δf$, по определению есть разность значений функции в конечной и начальной точках. Для данного случая:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$

Рассмотрим физический смысл каждого члена в этом выражении:

• $x_0$ — это координата начальной точки на стержне.

• $f(x_0)$ — это температура стержня в начальной точке с координатой $x_0$.

• $x_0 + Δx$ — это координата конечной точки, смещенной относительно начальной на расстояние $Δx$.

• $f(x_0 + Δx)$ — это температура стержня в конечной точке с координатой $x_0 + Δx$.

Следовательно, разность $f(x_0 + Δx) - f(x_0)$ представляет собой изменение температуры стержня при перемещении вдоль него от точки с координатой $x_0$ к точке с координатой $x_0 + Δx$. Это значение показывает, на сколько градусов температура во второй точке отличается от температуры в первой. Если $Δf > 0$, то температура на данном участке стержня возрастает, если $Δf < 0$ — убывает, а если $Δf = 0$ — остается постоянной.

Ответ: Приращение функции $f(x)$ при переходе от $x_0$ к $x_0 + Δx$ показывает, на сколько изменилась температура стержня при перемещении из точки, находящейся на расстоянии $x_0$ от его левого конца, в точку, находящуюся на расстоянии $x_0 + Δx$ от того же конца.