Страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Как находится производная, если количество слагаемых больше 2?

2. Какое условие должно выполняться при нахождении производной частного?

3. Можно ли рассматривать производную частного как производную произведения двух функций?

1. Как находится производная, если количество слагаемых больше 2?

Если функция представляет собой сумму более чем двух слагаемых, ее производная находится по тому же правилу, что и для двух слагаемых. Правило дифференцирования суммы гласит, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Это правило справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Формула для n слагаемых выглядит так:

$(f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x))' = f_1'(x) + f_2'(x) + \dots + f_n'(x)$

Например, для трех функций $u(x)$, $v(x)$ и $w(x)$ правило можно применить последовательно:

$(u + v + w)' = ((u + v) + w)' = (u + v)' + w' = u' + v' + w'$

Таким образом, чтобы найти производную суммы, нужно просто найти производную каждого слагаемого и сложить полученные результаты.

Ответ: Производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций, независимо от их количества.

2. Какое условие должно выполняться при нахождении производной частного?

При нахождении производной частного двух функций $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ используется формула:

$y' = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

Для того чтобы эта формула была применима и производная существовала, должны выполняться следующие условия:

1. Обе функции, $u(x)$ (числитель) и $v(x)$ (знаменатель), должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке.

2. Значение функции в знаменателе, $v(x)$, не должно быть равно нулю в этой точке, так как деление на ноль не определено. То есть, $v(x) \neq 0$.

Ответ: Основное условие заключается в том, что обе функции (в числителе и знаменателе) должны быть дифференцируемы, а функция в знаменателе не должна обращаться в ноль в точке, в которой ищется производная.

3. Можно ли рассматривать производную частного как производную произведения двух функций?

Да, можно. Производную частного $\frac{u(x)}{v(x)}$ можно вывести, представив частное в виде произведения и применив правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Представим частное $\frac{u}{v}$ как произведение двух функций: $u \cdot v^{-1}$.

Применим правило производной произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$, где $f = u$ и $g = v^{-1}$.

Для начала найдем производную $g' = (v^{-1})'$. Используя правило для степенной функции и цепное правило, получаем:

$(v^{-1})' = -1 \cdot v^{-1-1} \cdot v' = -v^{-2} \cdot v' = -\frac{v'}{v^2}$

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = (u \cdot v^{-1})' = u' \cdot (v^{-1}) + u \cdot (v^{-1})' = u' \cdot \frac{1}{v} + u \cdot \left(-\frac{v'}{v^2}\right)$

Приведем выражение к общему знаменателю $v^2$:

$\frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

В результате мы получили стандартную формулу для производной частного.

Ответ: Да, можно, представив частное $\frac{u}{v}$ как произведение $u \cdot v^{-1}$ и применив правило дифференцирования произведения в сочетании с цепным правилом.

14.1. Найдите производную функции:

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4$;

б) $f(x) = 4x^8 + \sqrt{x}$;

в) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^1$;

г) $f(x) = 4x^6 + 7x^5 + 1$;

д) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4$;

е) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x$;

ж) $f(x) = 2\sqrt{x} - 2$;

з) $f(x) = -5x^2 + x + 1$.

Для нахождения производной функции будем использовать следующие правила дифференцирования:

1. Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

2. Производная суммы функций: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

3. Константа выносится за знак производной: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$.

4. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4$.

Находим ее производную, применяя правила для каждого слагаемого:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (2x^2)' - (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^2)' - 0 = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = x^2 + 4x$

Ответ: $f'(x) = x^2 + 4x$

б) Дана функция $f(x) = 4x^8 + \sqrt{x}$.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и применим правила дифференцирования:

$f'(x) = (4x^8 + x^{1/2})' = (4x^8)' + (x^{1/2})'$

$f'(x) = 4 \cdot (x^8)' + (x^{1/2})' = 4 \cdot 8x^{8-1} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 32x^7 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 32x^7 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = 32x^7 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^4$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2x^4)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (2x^4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} = x^2 + 8x^3$

Ответ: $f'(x) = x^2 + 8x^3$

г) Дана функция $f(x) = 4x^6 + 7x^5 + 1$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (4x^6 + 7x^5 + 1)' = (4x^6)' + (7x^5)' + (1)'$

$f'(x) = 4 \cdot (x^6)' + 7 \cdot (x^5)' + 0 = 4 \cdot 6x^{6-1} + 7 \cdot 5x^{5-1} = 24x^5 + 35x^4$

Ответ: $f'(x) = 24x^5 + 35x^4$

д) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4)' = (-\frac{1}{3}x^2)' + (3x)' - (4)'$

$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot (x^2)' + 3 \cdot (x)' - 0 = -\frac{1}{3} \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1 = -\frac{2}{3}x + 3$

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{3}x + 3$

е) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 + x)' = (\frac{1}{4}x^4)' + (x)'$

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} + 1 = x^3 + 1$

Ответ: $f'(x) = x^3 + 1$

ж) Дана функция $f(x) = 2\sqrt{x} - 2$.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (2x^{1/2} - 2)' = (2x^{1/2})' - (2)'$

$f'(x) = 2 \cdot (x^{1/2})' - 0 = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

з) Дана функция $f(x) = -5x^2 + x + 1$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (-5x^2 + x + 1)' = (-5x^2)' + (x)' + (1)'$

$f'(x) = -5 \cdot (x^2)' + 1 + 0 = -5 \cdot 2x^{2-1} + 1 = -10x + 1$

Ответ: $f'(x) = -10x + 1$