Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.11. Решите неравенство $f(x) \le 0$:

а) $f(x) = x^3 + 0.5x^2 - 4x + 2;$

б) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 0.5x^2 + 2x.$

а)

Чтобы решить неравенство $f'(x) \le 0$, сначала найдем производную функции $f(x) = x^3 + 0,5x^2 - 4x + 2$.

$f'(x) = (x^3 + 0,5x^2 - 4x + 2)' = 3x^2 + 0,5 \cdot 2x - 4 = 3x^2 + x - 4$.

Теперь решим неравенство:

$3x^2 + x - 4 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$a=3, b=1, c=-4$.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0), то неравенство $3x^2 + x - 4 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $[-\frac{4}{3}, 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; 1]$.

б)

Чтобы решить неравенство $f'(x) \le 0$, сначала найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 0,5x^2 + 2x$.

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + 0,5x^2 + 2x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0,5 \cdot 2x + 2 = -x^2 + x + 2$.

Теперь решим неравенство:

$-x^2 + x + 2 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

$a=1, b=-1, c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0), то неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

14.12. Сравните значения $f'(0)$ и $g'(0)$, если $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x$ и $g(x) = x^4 + 3x^3 - 3x$.

Для того чтобы сравнить значения $f'(0)$ и $g'(0)$, необходимо найти производные заданных функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем вычислить значения этих производных в точке $x=0$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (3x)' = 3x^2 + 2 \cdot 2x - 3 = 3x^2 + 4x - 3$.

Теперь вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x=0$:

$f'(0) = 3 \cdot (0)^2 + 4 \cdot (0) - 3 = 0 + 0 - 3 = -3$.

Далее найдем производную функции $g(x) = x^4 + 3x^3 - 3x$.

Аналогично, находим производную:

$g'(x) = (x^4)' + (3x^3)' - (3x)' = 4x^3 + 3 \cdot 3x^2 - 3 = 4x^3 + 9x^2 - 3$.

Вычислим значение производной $g'(x)$ в точке $x=0$:

$g'(0) = 4 \cdot (0)^3 + 9 \cdot (0)^2 - 3 = 0 + 0 - 3 = -3$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $f'(0) = -3$ и $g'(0) = -3$.

Следовательно, $f'(0) = g'(0)$.

Ответ: $f'(0) = g'(0)$.