Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Являются ли сложными функции $y = x^n$, $y = (3x+5)^n$, $y = \cos x$, $y = \cos(1+3x^2)$?

Сложная функция (или композиция функций) — это функция, аргументом которой является другая функция. То есть, если есть две функции $y=f(u)$ и $u=g(x)$, то сложная функция будет иметь вид $y=f(g(x))$. Чтобы определить, является ли функция сложной, нужно проверить, можно ли ее представить в таком виде, где $f$ и $g$ — более простые (элементарные) функции, и внутренняя функция $g(x)$ не является просто $x$.

$y = x^n$

Данная функция является элементарной степенной функцией. Здесь независимая переменная $x$ напрямую возводится в степень $n$. Нельзя выделить нетривиальную внутреннюю функцию. Следовательно, эта функция не является сложной.

Ответ: не является сложной функцией.

$y = (3x + 5)^n$

Эту функцию можно представить как композицию двух функций. Внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^n$. Внутренняя функция — это линейная функция $u = g(x) = 3x + 5$. Подставляя $g(x)$ в $f(u)$, получаем исходную функцию: $y = f(g(x)) = (3x + 5)^n$. Поскольку функция является результатом применения одной функции к результату другой, она является сложной.

Ответ: является сложной функцией.

$y = \cos x$

Это элементарная тригонометрическая функция. Аргументом функции косинус является сама переменная $x$. Подобно функции $y=x^n$, здесь нет вложенной функции, отличной от $u=x$. Следовательно, это простая функция.

Ответ: не является сложной функцией.

$y = \cos(1+3x^2)$

Данную функцию можно представить как композицию двух функций. Внешняя функция — это тригонометрическая функция $f(u) = \cos u$. Внутренняя функция — это квадратичная функция $u = g(x) = 1 + 3x^2$. Подставив $g(x)$ в $f(u)$, мы получаем $y = f(g(x)) = \cos(1+3x^2)$. Так как функция представляет собой композицию квадратичной и тригонометрической функций, она является сложной.

Ответ: является сложной функцией.

16.1. Напишите функции f(x) и g(x), составляющие функцию $y = f(g(x))$:

а) $y = (2x - 1)^2$;

б) $y = \sqrt{3x + 2}$;

в) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $y = \operatorname{tg} 4x$.

а) Чтобы представить функцию $y = (2x - 1)^2$ в виде композиции $y = f(g(x))$, нужно определить внутреннюю и внешнюю функции. Внутренняя функция — это та, которая применяется к $x$ первой, а внешняя — та, которая применяется к результату внутренней функции.

В данном случае, сначала выполняется операция $2x - 1$, а затем результат возводится в квадрат. Поэтому:

Внутренняя функция: $g(x) = 2x - 1$.

Внешняя функция: $f(u) = u^2$, где $u = g(x)$. Если использовать переменную $x$ для определения функции $f$, то $f(x) = x^2$.

Проверка: $f(g(x)) = f(2x - 1) = (2x - 1)^2$.

Ответ: $f(x) = x^2$, $g(x) = 2x - 1$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{3x + 2}$. Здесь сначала вычисляется выражение под корнем $3x + 2$, а затем из результата извлекается квадратный корень.

Внутренняя функция: $g(x) = 3x + 2$.

Внешняя функция: $f(u) = \sqrt{u}$, где $u = g(x)$. В стандартной записи $f(x) = \sqrt{x}$.

Проверка: $f(g(x)) = f(3x + 2) = \sqrt{3x + 2}$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 3x + 2$.

в) Для функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{6})$ сначала вычисляется аргумент синуса, а затем применяется сама функция синус.

Внутренняя функция: $g(x) = x - \frac{\pi}{6}$.

Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$, где $u = g(x)$. В стандартной записи $f(x) = \sin(x)$.

Проверка: $f(g(x)) = f(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Ответ: $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = x - \frac{\pi}{6}$.

г) В функции $y = \tg 4x$ сначала аргумент $x$ умножается на 4, а затем от результата берется тангенс.

Внутренняя функция: $g(x) = 4x$.

Внешняя функция: $f(u) = \tg(u)$, где $u = g(x)$. В стандартной записи $f(x) = \tg(x)$.

Проверка: $f(g(x)) = f(4x) = \tg(4x)$.

Ответ: $f(x) = \tg(x)$, $g(x) = 4x$.

16.2. Составьте сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$:

а) $f(x) = \cos x$, $g(x) = 2x$;

б) $f(x) = x^3$, $g(x) = 3x + 1$;

в) $f(x) = \sin x$, $g(x) = 4x - 1$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \frac{2}{x + 1}$.

а) Даны функции $f(x) = \cos x$ и $g(x) = 2x$.

1. Найдём сложную функцию $y = f(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$:

$y = f(g(x)) = f(2x) = \cos(2x)$.

2. Найдём сложную функцию $y = g(f(x))$. Для этого подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо аргумента $x$:

$y = g(f(x)) = g(\cos x) = 2(\cos x) = 2\cos x$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \cos(2x)$; $y = g(f(x)) = 2\cos x$.

б) Даны функции $f(x) = x^3$ и $g(x) = 3x + 1$.

1. Найдём сложную функцию $y = f(g(x))$. Подставим $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(3x+1) = (3x+1)^3$.

2. Найдём сложную функцию $y = g(f(x))$. Подставим $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(x^3) = 3(x^3) + 1 = 3x^3 + 1$.

Ответ: $y = f(g(x)) = (3x+1)^3$; $y = g(f(x)) = 3x^3 + 1$.

в) Даны функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = 4x - 1$.

1. Найдём сложную функцию $y = f(g(x))$. Подставим $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(4x-1) = \sin(4x-1)$.

2. Найдём сложную функцию $y = g(f(x))$. Подставим $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(\sin x) = 4(\sin x) - 1 = 4\sin x - 1$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sin(4x-1)$; $y = g(f(x)) = 4\sin x - 1$.

г) Даны функции $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{2}{x+1}$.

1. Найдём сложную функцию $y = f(g(x))$. Подставим $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f\left(\frac{2}{x+1}\right) = \sqrt{\frac{2}{x+1}}$.

2. Найдём сложную функцию $y = g(f(x))$. Подставим $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \frac{2}{(\sqrt{x})+1} = \frac{2}{\sqrt{x}+1}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sqrt{\frac{2}{x+1}}$; $y = g(f(x)) = \frac{2}{\sqrt{x}+1}$.

Найдите производные функций (16.3–16.4):

16.3. a) $f(x) = \sqrt{x+15}$;

б) $f(x) = \sqrt{7-8x}$;

в) $f(x) = (-x^2+5)^3$;

г) $f(x) = (-8x^2+1)^4$.

16.3. а) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x+15}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция $h(x) = x+15$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x+15)' = (x)' + (15)' = 1 + 0 = 1$.

Теперь применим цепное правило, подставив $h(x)$ вместо $u$:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+15}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+15}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+15}}$.

16.3. б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{7-8x}$ применим правило дифференцирования сложной функции.

Здесь внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $h(x) = 7-8x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (7-8x)' = (7)' - (8x)' = 0 - 8 = -8$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7-8x}} \cdot (-8) = -\frac{8}{2\sqrt{7-8x}} = -\frac{4}{\sqrt{7-8x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{7-8x}}$.

16.3. в) Для нахождения производной функции $f(x) = (-x^2 + 5)^3$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = u^3$, внутренняя функция $h(x) = -x^2 + 5$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (-x^2 + 5)' = (-x^2)' + (5)' = -2x + 0 = -2x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 3(-x^2+5)^2 \cdot (-2x) = -6x(-x^2+5)^2$.

Ответ: $f'(x) = -6x(-x^2+5)^2$.

16.3. г) Для нахождения производной функции $f(x) = (-8x^2 + 1)^4$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = u^4$, внутренняя функция $h(x) = -8x^2 + 1$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^4)' = 4u^3$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (-8x^2 + 1)' = (-8x^2)' + (1)' = -16x + 0 = -16x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 4(-8x^2+1)^3 \cdot (-16x) = -64x(-8x^2+1)^3$.

Ответ: $f'(x) = -64x(-8x^2+1)^3$.