Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. На основе какой формулы получены формулы приближенного вычисления?

2. Почему формулы приближенного вычисления имеют несколько видов? Ответ обоснуйте.

1. На основе какой формулы получены формулы приближенного вычисления?

Формулы приближенного вычисления получены на основе определения производной функции в точке. Определение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ выглядит так:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Из этого определения следует, что при достаточно малых приращениях аргумента $\Delta x$ (где $\Delta x \ne 0$), справедливо приближенное равенство:

$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Выразим из этого равенства приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$:

$\Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$

Подставив обратно выражение для $\Delta y$, получаем основную формулу для приближенных вычислений:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

Эта формула означает, что в малой окрестности точки $x_0$ график функции $f(x)$ можно приближенно заменить отрезком касательной, проведенной к графику в этой точке.

Ответ: Формулы приближенного вычисления получены на основе формулы линейного приближения функции $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$, которая является прямым следствием определения производной.

2. Почему формулы приближенного вычисления имеют несколько видов? Ответ обоснуйте.

Основная формула для приближенных вычислений является общей, но для удобства практического применения из нее выводят частные случаи для различных стандартных функций. Эти частные случаи и представляют собой «несколько видов» формул. Разнообразие видов обусловлено тем, что для разных типов вычислений удобнее использовать уже готовую, адаптированную формулу.

Обоснование:

Общая формула: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

Применяя ее к разным функциям $f(x)$ и выбирая удобную точку $x_0$, мы получаем различные конкретные формулы:

1. Для степенной функции $f(x) = (1+x)^\alpha$ при $x_0=0$ и малом $\Delta x = x$: $f(0)=1$, $f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}$, $f'(0)=\alpha$. Формула принимает вид: $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$. Этот вид удобен для вычисления корней и степеней чисел, близких к единице. Например, $\sqrt{1.02} = (1+0.02)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.02 = 1.01$.

2. Для тригонометрической функции $f(x) = \sin x$ при $x_0=0$ и малом $\Delta x = x$: $f(0)=\sin 0 = 0$, $f'(x)=\cos x$, $f'(0)=\cos 0 = 1$. Формула принимает вид: $\sin x \approx x$ (где $x$ в радианах). Этот вид используется для вычисления синусов малых углов.

3. Для тригонометрической функции $f(x) = \cos x$ при $x_0=0$ и малом $\Delta x = x$: $f(0)=\cos 0 = 1$, $f'(x)=-\sin x$, $f'(0)=-\sin 0 = 0$. Формула принимает вид: $\cos x \approx 1$. Это приближение первого порядка, оно менее точное. Для большей точности используют приближения более высоких порядков.

Таким образом, существование нескольких видов формул — это результат специализации общего метода для конкретных, часто встречающихся классов функций. Это позволяет иметь под рукой набор готовых инструментов для решения типовых задач без необходимости каждый раз выводить формулу с нуля.

Ответ: Различные виды формул приближенного вычисления являются частными случаями одной общей формулы линейной аппроксимации. Они получаются путем ее применения к разным математическим функциям (степенным, тригонометрическим, логарифмическим и т.д.), что создает набор удобных для практического использования готовых шаблонов для разных типов задач.

18.1. Используя формулу (1), вычислите значения функции $f(x)$ при значениях аргумента $x_1$ и $x_2$:

а) $f(x) = x^3 + 3x, x_1 = 1,998, x_2 = 6,002;$

б) $f(x) = x^2 - x^5, x_1 = 3,03, x_2 = 2,997;$

в) $f(x) = 2x - x^4, x_1 = 5,002, x_2 = 3,995;$

г) $f(x) = 3x^2 + 2x^3, x_1 = 4,996, x_2 = 7,02.$

В задании указано использовать "формулу (1)", которая не приведена. В таких задачах, где требуется найти значение функции в точках, близких к "удобным" для расчета, обычно подразумевается формула линейного приближения (приближения с помощью касательной):

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $x = x_0 + \Delta x$, $x_0$ — "удобная" точка, а $\Delta x$ — малое приращение. Будем использовать эту формулу для всех вычислений.

а)

Дана функция $f(x) = x^3 + 3x$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

Для $x_1 = 1.998$ выберем $x_0 = 2$, тогда $\Delta x = 1.998 - 2 = -0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14$.

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 3 = 12 + 3 = 15$.

Приближенное значение:

$f(1.998) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 14 + 15 \cdot (-0.002) = 14 - 0.03 = 13.97$.

Для $x_2 = 6.002$ выберем $x_0 = 6$, тогда $\Delta x = 6.002 - 6 = 0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 6$:

$f(6) = 6^3 + 3 \cdot 6 = 216 + 18 = 234$.

$f'(6) = 3 \cdot 6^2 + 3 = 3 \cdot 36 + 3 = 108 + 3 = 111$.

Приближенное значение:

$f(6.002) \approx f(6) + f'(6) \cdot \Delta x = 234 + 111 \cdot (0.002) = 234 + 0.222 = 234.222$.

Ответ: $f(1.998) \approx 13.97$; $f(6.002) \approx 234.222$.

б)

Дана функция $f(x) = x^2 - x^5$. Производная функции:

$f'(x) = (x^2 - x^5)' = 2x - 5x^4$.

Для $x_1 = 3.03$ и $x_2 = 2.997$ выберем общую опорную точку $x_0 = 3$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 3^5 = 9 - 243 = -234$.

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3^4 = 6 - 5 \cdot 81 = 6 - 405 = -399$.

Для $x_1 = 3.03$, $\Delta x = 3.03 - 3 = 0.03$.

$f(3.03) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = -234 + (-399) \cdot (0.03) = -234 - 11.97 = -245.97$.

Для $x_2 = 2.997$, $\Delta x = 2.997 - 3 = -0.003$.

$f(2.997) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = -234 + (-399) \cdot (-0.003) = -234 + 1.197 = -232.803$.

Ответ: $f(3.03) \approx -245.97$; $f(2.997) \approx -232.803$.

в)

Дана функция $f(x) = 2x - x^4$. Производная функции:

$f'(x) = (2x - x^4)' = 2 - 4x^3$.

Для $x_1 = 5.002$ выберем $x_0 = 5$, тогда $\Delta x = 5.002 - 5 = 0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 5$:

$f(5) = 2 \cdot 5 - 5^4 = 10 - 625 = -615$.

$f'(5) = 2 - 4 \cdot 5^3 = 2 - 4 \cdot 125 = 2 - 500 = -498$.

Приближенное значение:

$f(5.002) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = -615 + (-498) \cdot (0.002) = -615 - 0.996 = -615.996$.

Для $x_2 = 3.995$ выберем $x_0 = 4$, тогда $\Delta x = 3.995 - 4 = -0.005$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 4$:

$f(4) = 2 \cdot 4 - 4^4 = 8 - 256 = -248$.

$f'(4) = 2 - 4 \cdot 4^3 = 2 - 4 \cdot 64 = 2 - 256 = -254$.

Приближенное значение:

$f(3.995) \approx f(4) + f'(4) \cdot \Delta x = -248 + (-254) \cdot (-0.005) = -248 + 1.27 = -246.73$.

Ответ: $f(5.002) \approx -615.996$; $f(3.995) \approx -246.73$.

г)

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 2x^3$. В условии, вероятно, опечатка, и следует читать $x_1 = 4.996$ и $x_2 = 7.02$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^2 + 2x^3)' = 6x + 6x^2$.

Для $x_1 = 4.996$ выберем $x_0 = 5$, тогда $\Delta x = 4.996 - 5 = -0.004$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 5$:

$f(5) = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^3 = 3 \cdot 25 + 2 \cdot 125 = 75 + 250 = 325$.

$f'(5) = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 5^2 = 30 + 6 \cdot 25 = 30 + 150 = 180$.

Приближенное значение:

$f(4.996) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = 325 + 180 \cdot (-0.004) = 325 - 0.72 = 324.28$.

Для $x_2 = 7.02$ выберем $x_0 = 7$, тогда $\Delta x = 7.02 - 7 = 0.02$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 7$:

$f(7) = 3 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^3 = 3 \cdot 49 + 2 \cdot 343 = 147 + 686 = 833$.

$f'(7) = 6 \cdot 7 + 6 \cdot 7^2 = 42 + 6 \cdot 49 = 42 + 294 = 336$.

Приближенное значение:

$f(7.02) \approx f(7) + f'(7) \cdot \Delta x = 833 + 336 \cdot (0.02) = 833 + 6.72 = 839.72$.

Ответ: $f(4.996) \approx 324.28$; $f(7.02) \approx 839.72$.