Номер 18.1, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.1. Используя формулу (1), вычислите значения функции $f(x)$ при значениях аргумента $x_1$ и $x_2$:

а) $f(x) = x^3 + 3x, x_1 = 1,998, x_2 = 6,002;$

б) $f(x) = x^2 - x^5, x_1 = 3,03, x_2 = 2,997;$

в) $f(x) = 2x - x^4, x_1 = 5,002, x_2 = 3,995;$

г) $f(x) = 3x^2 + 2x^3, x_1 = 4,996, x_2 = 7,02.$

В задании указано использовать "формулу (1)", которая не приведена. В таких задачах, где требуется найти значение функции в точках, близких к "удобным" для расчета, обычно подразумевается формула линейного приближения (приближения с помощью касательной):

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $x = x_0 + \Delta x$, $x_0$ — "удобная" точка, а $\Delta x$ — малое приращение. Будем использовать эту формулу для всех вычислений.

а)

Дана функция $f(x) = x^3 + 3x$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

Для $x_1 = 1.998$ выберем $x_0 = 2$, тогда $\Delta x = 1.998 - 2 = -0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14$.

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 3 = 12 + 3 = 15$.

Приближенное значение:

$f(1.998) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 14 + 15 \cdot (-0.002) = 14 - 0.03 = 13.97$.

Для $x_2 = 6.002$ выберем $x_0 = 6$, тогда $\Delta x = 6.002 - 6 = 0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 6$:

$f(6) = 6^3 + 3 \cdot 6 = 216 + 18 = 234$.

$f'(6) = 3 \cdot 6^2 + 3 = 3 \cdot 36 + 3 = 108 + 3 = 111$.

Приближенное значение:

$f(6.002) \approx f(6) + f'(6) \cdot \Delta x = 234 + 111 \cdot (0.002) = 234 + 0.222 = 234.222$.

Ответ: $f(1.998) \approx 13.97$; $f(6.002) \approx 234.222$.

б)

Дана функция $f(x) = x^2 - x^5$. Производная функции:

$f'(x) = (x^2 - x^5)' = 2x - 5x^4$.

Для $x_1 = 3.03$ и $x_2 = 2.997$ выберем общую опорную точку $x_0 = 3$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 3^5 = 9 - 243 = -234$.

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3^4 = 6 - 5 \cdot 81 = 6 - 405 = -399$.

Для $x_1 = 3.03$, $\Delta x = 3.03 - 3 = 0.03$.

$f(3.03) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = -234 + (-399) \cdot (0.03) = -234 - 11.97 = -245.97$.

Для $x_2 = 2.997$, $\Delta x = 2.997 - 3 = -0.003$.

$f(2.997) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = -234 + (-399) \cdot (-0.003) = -234 + 1.197 = -232.803$.

Ответ: $f(3.03) \approx -245.97$; $f(2.997) \approx -232.803$.

в)

Дана функция $f(x) = 2x - x^4$. Производная функции:

$f'(x) = (2x - x^4)' = 2 - 4x^3$.

Для $x_1 = 5.002$ выберем $x_0 = 5$, тогда $\Delta x = 5.002 - 5 = 0.002$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 5$:

$f(5) = 2 \cdot 5 - 5^4 = 10 - 625 = -615$.

$f'(5) = 2 - 4 \cdot 5^3 = 2 - 4 \cdot 125 = 2 - 500 = -498$.

Приближенное значение:

$f(5.002) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = -615 + (-498) \cdot (0.002) = -615 - 0.996 = -615.996$.

Для $x_2 = 3.995$ выберем $x_0 = 4$, тогда $\Delta x = 3.995 - 4 = -0.005$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 4$:

$f(4) = 2 \cdot 4 - 4^4 = 8 - 256 = -248$.

$f'(4) = 2 - 4 \cdot 4^3 = 2 - 4 \cdot 64 = 2 - 256 = -254$.

Приближенное значение:

$f(3.995) \approx f(4) + f'(4) \cdot \Delta x = -248 + (-254) \cdot (-0.005) = -248 + 1.27 = -246.73$.

Ответ: $f(5.002) \approx -615.996$; $f(3.995) \approx -246.73$.

г)

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 2x^3$. В условии, вероятно, опечатка, и следует читать $x_1 = 4.996$ и $x_2 = 7.02$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^2 + 2x^3)' = 6x + 6x^2$.

Для $x_1 = 4.996$ выберем $x_0 = 5$, тогда $\Delta x = 4.996 - 5 = -0.004$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 5$:

$f(5) = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^3 = 3 \cdot 25 + 2 \cdot 125 = 75 + 250 = 325$.

$f'(5) = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 5^2 = 30 + 6 \cdot 25 = 30 + 150 = 180$.

Приближенное значение:

$f(4.996) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = 325 + 180 \cdot (-0.004) = 325 - 0.72 = 324.28$.

Для $x_2 = 7.02$ выберем $x_0 = 7$, тогда $\Delta x = 7.02 - 7 = 0.02$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 7$:

$f(7) = 3 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^3 = 3 \cdot 49 + 2 \cdot 343 = 147 + 686 = 833$.

$f'(7) = 6 \cdot 7 + 6 \cdot 7^2 = 42 + 6 \cdot 49 = 42 + 294 = 336$.

Приближенное значение:

$f(7.02) \approx f(7) + f'(7) \cdot \Delta x = 833 + 336 \cdot (0.02) = 833 + 6.72 = 839.72$.

Ответ: $f(4.996) \approx 324.28$; $f(7.02) \approx 839.72$.