Номер 18.7, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.7. Сравните значения функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x_0$:

a) $f(x) = x^2 - 4x^5$, $g(x) = x^3 - 3x^4$, $x_0 = 3,998$;

б) $f(x) = x^5 + 1$, $g(x) = 1 - x^4$; $x_0 = 1,999$.

а) Чтобы сравнить значения функций $f(x) = x^2 - 4x^5$ и $g(x) = x^3 - 3x^4$ при $x_0 = 3,998$, рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x)$.

$h(x) = (x^2 - 4x^5) - (x^3 - 3x^4) = -4x^5 + 3x^4 - x^3 + x^2$.

Для анализа знака этой функции вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$h(x) = x^2(-4x^3 + 3x^2 - x + 1)$.

При $x_0 = 3,998$ множитель $x_0^2$ является положительным. Следовательно, знак разности $h(x_0)$ определяется знаком выражения в скобках, которое мы обозначим как $P(x) = -4x^3 + 3x^2 - x + 1$.

Чтобы определить знак $P(x_0)$, исследуем монотонность функции $P(x)$. Для этого найдем ее производную:

$P'(x) = (-4x^3 + 3x^2 - x + 1)' = -12x^2 + 6x - 1$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-12x^2 + 6x - 1$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-1) = 36 - 48 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-12 < 0$), производная $P'(x)$ отрицательна при любых значениях $x$. Это означает, что функция $P(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Так как $P(x)$ убывает, сравним значение $P(x_0)$ со значением функции в какой-либо удобной точке, например, $x=1$.

$P(1) = -4(1)^3 + 3(1)^2 - 1 + 1 = -4 + 3 = -1$.

Поскольку $x_0 = 3,998 > 1$ и функция $P(x)$ строго убывает, то $P(x_0) < P(1)$.

$P(3,998) < -1$, следовательно, $P(3,998)$ является отрицательным числом.

Таким образом, $h(x_0) = x_0^2 \cdot P(x_0)$ является произведением положительного числа ($x_0^2$) на отрицательное ($P(x_0)$), что дает отрицательный результат: $h(x_0) < 0$.

Из $f(x_0) - g(x_0) < 0$ следует, что $f(x_0) < g(x_0)$.

Ответ: $f(x_0) < g(x_0)$.

б) Чтобы сравнить значения функций $f(x) = x^5 + 1$ и $g(x) = 1 - x^4$ при $x_0 = 1,999$, так же рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x)$.

$h(x) = (x^5 + 1) - (1 - x^4) = x^5 + 1 - 1 + x^4 = x^5 + x^4$.

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$h(x) = x^4(x + 1)$.

Теперь определим знак этой разности в точке $x_0 = 1,999$.

$h(1,999) = (1,999)^4 \cdot (1,999 + 1) = (1,999)^4 \cdot 2,999$.

Поскольку $x_0 = 1,999$ является положительным числом, то оба множителя в выражении для $h(x_0)$ положительны:

$(1,999)^4 > 0$ и $(1,999 + 1) = 2,999 > 0$.

Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $h(x_0) > 0$.

Из $f(x_0) - g(x_0) > 0$ следует, что $f(x_0) > g(x_0)$.

Ответ: $f(x_0) > g(x_0)$.