gdz.top
Номер 4, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова
Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1142-6
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная. Проверь себя! - номер 4, страница 102.
№3
№4 (с. 102)
Условие. №4 (с. 102)
4. Найдите производную функции $y(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$:
A) $\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$; B) $\frac{1}{2\sqrt{(x^2+1)^3}}$; C) $-\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$; D) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$.
Решение. №4 (с. 102)
Решение 2. №4 (с. 102)
4. Для нахождения производной функции $y(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Обозначим числитель как $u(x) = x$ и знаменатель как $v(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.
Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.
Производная числителя: $u'(x) = (x)' = 1$.
Производная знаменателя находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$v'(x) = (\sqrt{x^2 + 1})' = ((x^2 + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}$.
Упростим полученное выражение. Знаменатель равен $(x^2 + 1)$. Преобразуем числитель, приведя его к общему знаменателю $\sqrt{x^2 + 1}$:
$\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:
$y'(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1}}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, преобразуем знаменатель:
$(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^1 \cdot (x^2 + 1)^{1/2} = (x^2 + 1)^{1 + \frac{1}{2}} = (x^2 + 1)^{3/2}$.
Выражение $(x^2 + 1)^{3/2}$ можно также записать в виде $\sqrt{(x^2 + 1)^3}$.
Таким образом, окончательная производная равна: $y'(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}$.
Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту A).
Ответ: A)
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 102 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 102), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.