Номер 18.3, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Используя формулы (1)—(3), вычислите приближенные значения выражений (18.3—18.6):

18.3.а) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + 0,004\right)$;
б) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + 0,02\right)$;
в) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 0,05\right).$

Для вычисления приближенных значений выражений используется формула линейного приближения функции в окрестности точки, основанная на её производной: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$, где $\Delta x$ — малое приращение аргумента.

а) Вычислим приближенное значение для $\sin(\frac{\pi}{6} + 0,004)$.

В этом случае, $f(x) = \sin(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, и $\Delta x = 0,004$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sin(\frac{\pi}{6} + 0,004) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot 0,004 = 0,5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,004 = 0,5 + 0,002\sqrt{3}$.

5. Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$, получаем:

$0,5 + 0,002 \cdot 1,732 = 0,5 + 0,003464 = 0,503464$.

Ответ: $0,503464$.

б) Вычислим приближенное значение для $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + 0,02)$.

Здесь $f(x) = \text{tg}(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, и $\Delta x = 0,02$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\text{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = \frac{1}{1/2} = 2$.

4. Подставим значения в формулу:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4} + 0,02) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) + 2 \cdot 0,02 = 1 + 0,04 = 1,04$.

Ответ: $1,04$.

в) Вычислим приближенное значение для $\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 0,05)$.

Здесь $f(x) = \text{ctg}(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, и $\Delta x = -0,05$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\text{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{2/4} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

4. Подставим значения в формулу:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 0,05) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + (-2) \cdot (-0,05) = 1 + 0,1 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.