Номер 17.12, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.12. Решите уравнение $f'(x) = 0:$

а) $f(x) = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}x;$

б) $f(x) = \sqrt{2}(x - 1) + \cos(2x).$

a) Дана функция $f(x) = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}x$.

Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используем правило дифференцирования суммы и производную сложной функции: $(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$.

$f'(x) = \left(3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)' - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}x\right)'$

$f'(x) = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x + \frac{\pi}{4}\right)' - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f'(x) = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

$3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Рассмотрим два случая для знаков $\pm$:

1) С плюсом: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

2) С минусом: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{2}(x - 1) + \cos 2x$.

Для решения уравнения $f'(x)=0$ найдем производную функции $f(x)$. Раскроем скобки для удобства: $f(x) = \sqrt{2}x - \sqrt{2} + \cos 2x$.

Используем правило дифференцирования суммы и производную сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$.

$f'(x) = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})' + (\cos 2x)'$

$f'(x) = \sqrt{2} - \sin(2x) \cdot (2x)'$

$f'(x) = \sqrt{2} - 2\sin 2x$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$\sqrt{2} - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = \sqrt{2}$

$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.