Номер 18.2, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.2. Используя формулы (2) и (3), вычислите приближенные значения выражений:

а) $1,003^{100}$;

б) $0,996^{16}$;

в) $0,997^{40}$;

г) $1,002^{200}$;

д) $\sqrt{1,003}$;

е) $\sqrt{1,004}$;

ж) $\sqrt{4,008}$.

Для вычисления приближенных значений используются следующие формулы, являющиеся следствиями из разложения в ряд Тейлора (биномиальное приближение) при малых значениях $|x|$:

Формула (2): $(1+x)^n \approx 1+nx$

Формула (3): $\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$ (которая является частным случаем формулы (2) при $n=1/2$)

а) $1.003^{100}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$1.003^{100} = (1 + 0.003)^{100}$.

В данном случае $x = 0.003$ и $n = 100$. Применим формулу (2):

$(1 + 0.003)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0.003 = 1 + 0.3 = 1.3$.

Ответ: $1.3$.

б) $0.996^{16}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$0.996^{16} = (1 - 0.004)^{16}$.

В данном случае $x = -0.004$ и $n = 16$. Применим формулу (2):

$(1 - 0.004)^{16} \approx 1 + 16 \cdot (-0.004) = 1 - 0.064 = 0.936$.

Ответ: $0.936$.

в) $0.997^{40}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$0.997^{40} = (1 - 0.003)^{40}$.

В данном случае $x = -0.003$ и $n = 40$. Применим формулу (2):

$(1 - 0.003)^{40} \approx 1 + 40 \cdot (-0.003) = 1 - 0.12 = 0.88$.

Ответ: $0.88$.

г) $1.002^{200}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$1.002^{200} = (1 + 0.002)^{200}$.

В данном случае $x = 0.002$ и $n = 200$. Применим формулу (2):

$(1 + 0.002)^{200} \approx 1 + 200 \cdot 0.002 = 1 + 0.4 = 1.4$.

Ответ: $1.4$.

д) $\sqrt{1.003}$

Представим выражение в виде $\sqrt{1+x}$:

$\sqrt{1.003} = \sqrt{1 + 0.003}$.

В данном случае $x = 0.003$. Применим формулу (3):

$\sqrt{1 + 0.003} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.003 = 1 + 0.0015 = 1.0015$.

Ответ: $1.0015$.

е) $\sqrt{1.004}$

Представим выражение в виде $\sqrt{1+x}$:

$\sqrt{1.004} = \sqrt{1 + 0.004}$.

В данном случае $x = 0.004$. Применим формулу (3):

$\sqrt{1 + 0.004} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.004 = 1 + 0.002 = 1.002$.

Ответ: $1.002$.

ж) $\sqrt{4.008}$

Преобразуем выражение, чтобы можно было применить формулу (3):

$\sqrt{4.008} = \sqrt{4 + 0.008} = \sqrt{4 \cdot (1 + \frac{0.008}{4})} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{1 + 0.002} = 2\sqrt{1 + 0.002}$.

Теперь к выражению $\sqrt{1 + 0.002}$ применим формулу (3), где $x=0.002$:

$2\sqrt{1 + 0.002} \approx 2 \cdot (1 + \frac{1}{2} \cdot 0.002) = 2 \cdot (1 + 0.001) = 2 \cdot 1.001 = 2.002$.

Ответ: $2.002$.