Номер 17.13, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.13. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

а) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2};$

б) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}.$

а) Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{x}{2}$.

Сначала найдем ее производную: $f'(x) = (\cos x + \frac{x}{2})' = -\sin x + \frac{1}{2}$.

Далее, необходимо решить неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin x + \frac{1}{2} > 0$

Переносим $\sin x$ в правую часть:

$\frac{1}{2} > \sin x$, что то же самое, что и $\sin x < \frac{1}{2}$.

Для решения этого простейшего тригонометрического неравенства, сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. Этими корнями являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности или на графике функции $y=\sin x$ видно, что неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$ выполняется для углов, находящихся между $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{13\pi}{6}$ (что равно $\frac{\pi}{6}$ на следующем витке).

Таким образом, общее решение можно записать в виде интервала: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$. Для удобства этот интервал часто представляют в виде $(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\cos x - \frac{1}{2} > 0$

$\cos x > \frac{1}{2}$

Корнями уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности или на графике функции $y=\cos x$ видно, что неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$ выполняется для углов, заключенных строго между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение неравенства имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.