Номер 17.7, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.7. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$:

а) $f(x) = \sin x; x_0 = \frac{2\pi}{3};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x; x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2})(x - \frac{2\pi}{3})$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \text{tg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4})$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = 1 + 2x - 2 \cdot \frac{\pi}{4}$

$y = 1 + 2x - \frac{\pi}{2}$

$y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$.