Номер 17.3, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.3. a) $f(x) = - \cos2x + \sin2x;$

b) $f(x) = x^3 - 2\sin2x;$

б) $f(x) = 3x + \cos4x;$

г) $f(x) = 2\operatorname{tg}2x.$

а) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = -\cos(2x) + \sin(2x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная - это функция, производная которой равна исходной функции.

Вычислим интеграл от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (-\cos(2x) + \sin(2x)) dx = \int -\cos(2x) dx + \int \sin(2x) dx$.

Воспользуемся табличными интегралами для тригонометрических функций:

$\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$

$\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$

Применяя эти формулы для $k=2$, получаем:

$\int -\cos(2x) dx = -\frac{1}{2}\sin(2x)$

$\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x + \cos(4x)$ путем интегрирования.

$F(x) = \int (3x + \cos(4x)) dx = \int 3x dx + \int \cos(4x) dx$.

Используем следующие табличные интегралы:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$

Для первого слагаемого при $n=1$:

$\int 3x dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{3}{2}x^2$.

Для второго слагаемого при $k=4$:

$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Объединяя результаты и добавляя константу $C$, получаем:

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2\sin(2x)$.

$F(x) = \int (x^3 - 2\sin(2x)) dx = \int x^3 dx - \int 2\sin(2x) dx$.

Применяем табличные интегралы:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$

Для первого слагаемого при $n=3$:

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Для второго слагаемого при $k=2$:

$\int -2\sin(2x) dx = -2 \int \sin(2x) dx = -2 \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \cos(2x)$.

Суммируя части и добавляя константу $C$, находим общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos(2x) + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(2x)$.

$F(x) = \int 2\operatorname{tg}(2x) dx = 2\int \operatorname{tg}(2x) dx$.

Для вычисления этого интеграла можно использовать замену переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, и $dx = \frac{du}{2}$.

$2\int \operatorname{tg}(2x) dx = 2\int \operatorname{tg}(u) \frac{du}{2} = \int \operatorname{tg}(u) du$.

Интеграл от тангенса является табличным: $\int \operatorname{tg}(u) du = -\ln|\cos(u)| + C$.

Подставляя результат, получаем:

$\int \operatorname{tg}(u) du = -\ln|\cos(u)| + C$.

Теперь выполним обратную замену $u = 2x$:

$F(x) = -\ln|\cos(2x)| + C$.

Ответ: $F(x) = -\ln|\cos(2x)| + C$.