Номер 16.7, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные функций (16.7–16.9):

16.7. a) $f(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^3;$

б) $f(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)^2.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^3$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $u(v) = v^3$, а внутренняя функция — $v(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$.

1. Найдём производную внешней функции: $u'(v) = (v^3)' = 3v^2$.

2. Найдём производную внутренней функции. Для удобства представим $\frac{1}{x^2}$ как $x^{-2}$:

$v'(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)' = (4 + x^{-2})' = (4)' + (x^{-2})'$.

Производная константы равна нулю: $(4)'=0$.

Производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Таким образом, $v'(x) = 0 - \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Теперь подставим всё в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 3\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right)$.

4. Упростим полученное выражение:

$f'(x) = -\frac{6}{x^3}\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{6}{x^3}\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)^2$ также используем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция — $u(v) = v^2$, а внутренняя — $v(x) = 5 - \frac{4}{x}$.

1. Найдём производную внешней функции: $u'(v) = (v^2)' = 2v$.

2. Найдём производную внутренней функции. Представим $\frac{4}{x}$ как $4x^{-1}$:

$v'(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)' = (5 - 4x^{-1})' = (5)' - (4x^{-1})'$.

Производная константы $(5)'=0$.

Производная $4x^{-1}$: $(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.

Таким образом, $v'(x) = 0 - \left(-\frac{4}{x^2}\right) = \frac{4}{x^2}$.

3. Подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = 2\left(5 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{4}{x^2}$.

4. Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{8}{x^2}\left(5 - \frac{4}{x}\right)$.

Можно также привести выражение в скобках к общему знаменателю и перемножить дроби:

$f'(x) = \frac{8}{x^2}\left(\frac{5x-4}{x}\right) = \frac{8(5x-4)}{x^3}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{8(5x-4)}{x^3}$.