Номер 17.2, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.2. a) $f(x) = 2x + 2\operatorname{tg}x;$ б) $f(x) = 4x\operatorname{ctg}x;$

В) $f(x) = \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right);$ Г) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x+\frac{\pi}{4}\right).$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x + 2\text{tg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно:

Производная первого слагаемого: $(2x)' = 2$.

Производная второго слагаемого: $(2\text{tg}x)' = 2 \cdot (\text{tg}x)'$. Используя производную тангенса $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем $2 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{2}{\cos^2x}$.

Складываем полученные производные: $f'(x) = 2 + \frac{2}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2 + \frac{2}{\cos^2x}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = 4x\text{ctg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (4x)' = 4$.

$v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (4x)' \cdot \text{ctg}x + 4x \cdot (\text{ctg}x)' = 4\text{ctg}x + 4x \cdot (-\frac{1}{\sin^2x}) = 4\text{ctg}x - \frac{4x}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 4\text{ctg}x - \frac{4x}{\sin^2x}$.

в) Функция $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ является сложной функцией. Для ее дифференцирования используем правило производной сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u) = \sin u$, ее производная $g'(u) = \cos u$.

Внутренняя функция $h(x) = x + \frac{\pi}{3}$, ее производная $h'(x) = (x + \frac{\pi}{3})' = 1 + 0 = 1$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cdot (x + \frac{\pi}{3})' = \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cdot 1 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $f'(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

г) Функция $f(x) = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ также является сложной функцией. Применяем правило производной сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = \text{tg}u$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{\cos^2u}$.

Внутренняя функция $h(x) = x + \frac{\pi}{4}$, ее производная $h'(x) = (x + \frac{\pi}{4})' = 1 + 0 = 1$.

Применяем правило:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})}$.