Номер 16.8, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.8. a) $f(x) = \frac{12}{x-\sqrt{x}} - (x-6)^2$;

б) $f(x) = \frac{10}{x+\sqrt{x}} + (\sqrt{x}-1)^3$.

а)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{12}{x - \sqrt{x}} - (x - 6)^2$.

Область определения функции находится из условий: $x \ge 0$ (из-за $\sqrt{x}$) и $x - \sqrt{x} \neq 0$. Решая второе условие, получаем $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \neq 0$, что дает $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, область определения: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Для нахождения точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. Для упрощения дифференцирования преобразуем первое слагаемое, разложив его на простейшие дроби. Введем замену $t = \sqrt{x}$.

$\frac{12}{x - \sqrt{x}} = \frac{12}{t^2 - t} = \frac{12}{t(t-1)}$.

Представим дробь в виде суммы: $\frac{12}{t(t-1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t}$.

Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ приведем к общему знаменателю: $12 = At + B(t-1)$.

Подставив $t=1$, получим $12 = A \cdot 1 \Rightarrow A = 12$.

Подставив $t=0$, получим $12 = B \cdot (-1) \Rightarrow B = -12$.

Таким образом, исходная функция имеет вид: $f(x) = \frac{12}{\sqrt{x}-1} - \frac{12}{\sqrt{x}} - (x-6)^2$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{12}{\sqrt{x}-1}\right)' - \left(\frac{12}{\sqrt{x}}\right)' - \left((x-6)^2\right)'$

$f'(x) = 12 \cdot (-1)(\sqrt{x}-1)^{-2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} - 2(x-6)$

$f'(x) = -\frac{6}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} + \frac{6}{x\sqrt{x}} - 2(x-6)$

Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю $x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2$:

$f'(x) = \frac{-6x + 6(\sqrt{x}-1)^2}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = \frac{-6x + 6(x-2\sqrt{x}+1)}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6)$

$f'(x) = \frac{-6x + 6x - 12\sqrt{x} + 6}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = \frac{6(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $f'(x) = 0$.

$\frac{6(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = 0$

$\frac{3(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} = x-6$

Данное трансцендентное уравнение не имеет простых аналитических решений. Его корни, которые и являются точками экстремума, могут быть найдены лишь численными методами.

Ответ: Точки экстремума функции являются решениями уравнения $\frac{3(1 - 2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} = x-6$.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{10}{x + \sqrt{x}} + (\sqrt{x} - 1)^3$.

Область определения функции: $x + \sqrt{x} \neq 0$ и $x \ge 0$. Условие $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) \neq 0$ при $x \ge 0$ эквивалентно $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $x \in (0, +\infty)$.

Для упрощения найдем производную, используя замену $t = \sqrt{x}$, где $t > 0$. Тогда $x=t^2$ и $f(x) = F(t) = \frac{10}{t^2 + t} + (t-1)^3$.

Разложим первое слагаемое на простейшие дроби: $\frac{10}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем $10 = A(t+1) + Bt$.

При $t=0$, $A=10$. При $t=-1$, $B=-10$.

Итак, $F(t) = \frac{10}{t} - \frac{10}{t+1} + (t-1)^3$.

Найдем производную $f'(x)$ по правилу производной сложной функции: $f'(x) = \frac{dF}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$.

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2t}$.

$\frac{dF}{dt} = \left(\frac{10}{t}\right)' - \left(\frac{10}{t+1}\right)' + \left((t-1)^3\right)' = -\frac{10}{t^2} + \frac{10}{(t+1)^2} + 3(t-1)^2$.

Точки экстремума функции $f(x)$ соответствуют $f'(x) = 0$. Поскольку $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2t} > 0$ на области определения, то $f'(x)=0$ тогда и только тогда, когда $\frac{dF}{dt}=0$.

$-\frac{10}{t^2} + \frac{10}{(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$10\left(\frac{1}{(t+1)^2} - \frac{1}{t^2}\right) + 3(t-1)^2 = 0$

$10\frac{t^2 - (t+1)^2}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$10\frac{t^2 - (t^2+2t+1)}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$\frac{-10(2t+1)}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$3(t-1)^2 = \frac{10(2t+1)}{t^2(t+1)^2}$

$3t^2(t-1)^2(t+1)^2 = 10(2t+1)$

$3(t(t-1)(t+1))^2 = 20t+10$

$3(t(t^2-1))^2 = 20t+10 \Rightarrow 3(t^3-t)^2 = 20t+10$

$3(t^6-2t^4+t^2) = 20t+10$

$3t^6-6t^4+3t^2-20t-10=0$

Получено полиномиальное уравнение шестой степени относительно $t$. Это уравнение не решается аналитически в общем виде. Его положительные корни могут быть найдены численными методами.

Ответ: Точки экстремума функции $x=t^2$ определяются положительными корнями $t$ уравнения $3t^6-6t^4+3t^2-20t-10=0$.