Номер 17.5, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.5. Вычислите производную функции в заданной точке:

а) $f(x) = \cos x + 1, x = \frac{\pi}{6};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x - 2, x = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = \frac{2 \sin x}{3}, x = \frac{\pi}{3};$

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{3} \operatorname{tg} x, x = \frac{\pi}{3}.$

а) Дана функция $f(x) = \cos x + 1$ и точка $x = \frac{\pi}{6}$.Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем общую формулу производной $f'(x)$.Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (\cos x + 1)' = (\cos x)' + (1)'$.Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$, а производная константы $1$ равна $0$.Таким образом, $f'(x) = -\sin x + 0 = -\sin x$.Теперь подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для производной:$f'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Дана функция $f(x) = \tan x - 2$ и точка $x = -\frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\tan x - 2)' = (\tan x)' - (2)'$.Производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, а производная константы $-2$ равна $0$.Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.Вычислим значение производной в точке $x = -\frac{\pi}{3}$:$f'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$.Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-a) = \cos(a)$.$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.Тогда $\cos^2(-\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Подставляем это значение в формулу производной:$f'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.Ответ: $4$

в) Дана функция $f(x) = \frac{2\sin x}{3}$ и точка $x = \frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции. Можно вынести константу $\frac{2}{3}$ за знак производной:$f'(x) = (\frac{2}{3}\sin x)' = \frac{2}{3}(\sin x)'$.Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.Значит, $f'(x) = \frac{2}{3}\cos x$.Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3}\cos(\frac{\pi}{3})$.Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Дана функция $f(x) = \cot x + \frac{1}{3}\tan x$ и точка $x = \frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования суммы и правило вынесения константы за знак производной:$f'(x) = (\cot x + \frac{1}{3}\tan x)' = (\cot x)' + \frac{1}{3}(\tan x)'$.Производная от $\cot x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$, а производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.Таким образом, $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{3\cos^2 x}$.Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3})} + \frac{1}{3\cos^2(\frac{\pi}{3})}$.Найдем значения синуса и косинуса для $x = \frac{\pi}{3}$:$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Подставим эти значения в выражение для производной:$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\frac{3}{4}} + \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$.Ответ: $0$