Номер 17.11, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.11. a) $f(x) = \frac{3x + 4}{\cos x}$;

Б) $f(x) = \frac{5x - 2}{\sin x}$;

В) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{3 + x}$;

Г) $f(x) = \frac{x - 2}{\operatorname{ctg} x}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{3x+4}{\cos x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.В нашем случае, $u(x) = 3x+4$ и $v(x) = \cos x$.Найдем производные этих функций:$u'(x) = (3x+4)' = 3$.$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.Теперь подставим найденные значения в формулу для производной частного:$f'(x) = \frac{(3x+4)' \cos x - (3x+4)(\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{3 \cdot \cos x - (3x+4)(-\sin x)}{\cos^2 x}$.Упростим выражение в числителе:$f'(x) = \frac{3 \cos x + (3x+4)\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3 \cos x + 3x \sin x + 4 \sin x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3 \cos x + 3x \sin x + 4 \sin x}{\cos^2 x}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{5x-2}{\sin x}$ также применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Здесь $u(x) = 5x-2$ и $v(x) = \sin x$.Их производные:$u'(x) = (5x-2)' = 5$.$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.Подставляем в формулу:$f'(x) = \frac{(5x-2)' \sin x - (5x-2)(\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{5 \cdot \sin x - (5x-2)\cos x}{\sin^2 x}$.Раскроем скобки в числителе:$f'(x) = \frac{5 \sin x - 5x \cos x + 2 \cos x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5 \sin x - 5x \cos x + 2 \cos x}{\sin^2 x}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\tg x}{3+x}$. Снова используем правило дифференцирования частного.Пусть $u(x) = \tg x$ и $v(x) = 3+x$.Найдем их производные:$u'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.$v'(x) = (3+x)' = 1$.Применяем формулу:$f'(x) = \frac{(\tg x)'(3+x) - (\tg x)(3+x)'}{(3+x)^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot (3+x) - \tg x \cdot 1}{(3+x)^2}$.Упростим числитель, представив $\tg x$ как $\frac{\sin x}{\cos x}$:$\frac{3+x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x}$.Подставим это обратно в выражение для производной:$f'(x) = \frac{\frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x}}{(3+x)^2} = \frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x (3+x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3+x - \sin x \cos x}{(3+x)^2 \cos^2 x}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x-2}{\ctg x}$. Можно использовать правило частного, но проще сначала упростить функцию, так как $\frac{1}{\ctg x} = \tg x$.Итак, $f(x) = (x-2)\tg x$.Теперь воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.Здесь $u(x) = x-2$ и $v(x) = \tg x$.Их производные:$u'(x) = (x-2)' = 1$.$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.Применяем правило произведения:$f'(x) = (x-2)' \tg x + (x-2) (\tg x)' = 1 \cdot \tg x + (x-2) \frac{1}{\cos^2 x}$.Приведем к общему знаменателю $\cos^2 x$:$f'(x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{x-2}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{x-2}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x + x-2}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x \cos x + x-2}{\cos^2 x}$.