Номер 17.15, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.15. Вычислите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

а) $f(x) = \sin \left(x^2 + x + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $f(x) = \frac{4}{3} \operatorname{tg}\left(x^3 + x\right).$

а)

Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = \sin(x^2 + x + \frac{\pi}{4})$ в точке $x_0 = 0$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $h(x) = x^2 + x + \frac{\pi}{4}$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^2 + x + \frac{\pi}{4})' = 2x + 1$.

Теперь, по цепному правилу, производная исходной функции равна:

$f'(x) = \cos(x^2 + x + \frac{\pi}{4}) \cdot (2x + 1)$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, подставив $x=0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \cos(0^2 + 0 + \frac{\pi}{4}) \cdot (2 \cdot 0 + 1) = \cos(\frac{\pi}{4}) \cdot 1$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $f'(0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $f'(0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{3}\operatorname{tg}(x^3 + x)$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0 = 0$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и правило для производной тангенса $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Внешняя функция с учетом константы: $g(u) = \frac{4}{3}\operatorname{tg}(u)$, внутренняя функция: $h(x) = x^3 + x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (\frac{4}{3}\operatorname{tg}(u))' = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

По цепному правилу:

$f'(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(x^3 + x)} \cdot (3x^2 + 1) = \frac{4(3x^2 + 1)}{3\cos^2(x^3 + x)}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$f'(0) = \frac{4(3 \cdot 0^2 + 1)}{3\cos^2(0^3 + 0)} = \frac{4(0 + 1)}{3\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, то $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $f'(0) = \frac{4}{3}$.