Номер 17.10, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.10. a) $f(x) = \cos^2x - 1;$

B) $f(x) = (\sin2x + 1)^2;$

б) $f(x) = 3\sin^22x + 2x;$

г) $f(x) = (\cos2x + \sin2x)^3.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos^2x - 1$ сначала упростим её. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем $f(x) = -(1 - \cos^2x) = -\sin^2x$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$f(x) = -\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) = \frac{\cos(2x) - 1}{2} = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\right) dx = \frac{1}{2}\int\cos(2x)dx - \frac{1}{2}\int dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \frac{1}{2}x + C = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{x}{2} + C$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sin^2(2x) + 2x$. Для нахождения ее первообразной, преобразуем слагаемое $3\sin^2(2x)$ с помощью формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$f(x) = 3\left(\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2}\right) + 2x = \frac{3}{2}(1 - \cos(4x)) + 2x = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) + 2x$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) + 2x\right) dx = \int \frac{3}{2}dx - \frac{3}{2}\int \cos(4x)dx + \int 2xdx$.

$F(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)\right) + x^2 + C = x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{8}\sin(4x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{8}\sin(4x) + C$.

в) Дана функция $f(x) = (\sin(2x) + 1)^2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$f(x) = \sin^2(2x) + 2\sin(2x) + 1$.

Для слагаемого $\sin^2(2x)$ применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ при $\alpha=2x$:

$f(x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} + 2\sin(2x) + 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x) + 2\sin(2x) + 1 = \frac{3}{2} + 2\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)$.

Найдем первообразную $F(x)$ для полученной функции:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{2} + 2\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx = \int\frac{3}{2}dx + 2\int\sin(2x)dx - \frac{1}{2}\int\cos(4x)dx$.

$F(x) = \frac{3}{2}x + 2\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)\right) + C = \frac{3}{2}x - \cos(2x) - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x - \cos(2x) - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$.

г) Дана функция $f(x) = (\cos(2x) + \sin(2x))^3$. Упростим это выражение. Сначала представим куб как произведение квадрата и первой степени:

$f(x) = (\cos(2x) + \sin(2x))^2(\cos(2x) + \sin(2x))$.

Раскроем квадрат суммы:

$(\cos(2x) + \sin(2x))^2 = \cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1 + \sin(4x)$, используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Тогда $f(x) = (1 + \sin(4x))(\cos(2x) + \sin(2x))$.

Раскроем скобки:

$f(x) = \cos(2x) + \sin(2x) + \sin(4x)\cos(2x) + \sin(4x)\sin(2x)$.

Применим формулы преобразования произведения в сумму:

$\sin(4x)\cos(2x) = \frac{1}{2}(\sin(4x+2x) + \sin(4x-2x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(2x))$.

$\sin(4x)\sin(2x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-2x) - \cos(4x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(6x))$.

Подставим эти выражения в функцию $f(x)$ и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = \cos(2x) + \sin(2x) + \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(2x)) + \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(6x)) = \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(6x) - \frac{1}{2}\cos(6x)$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int\left(\frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(6x) - \frac{1}{2}\cos(6x)\right)dx$.

$F(x) = \frac{3}{2}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{-\cos(2x)}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{-\cos(6x)}{6}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(6x)}{6}\right) + C$.

$F(x) = \frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{3}{4}\cos(2x) - \frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{3}{4}\cos(2x) - \frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.