Номер 17.4, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.4. a) $f(x) = -3\text{ctg}x - 4x^3;$

б) $f(x) = \sin2x + \text{tg}x;$

в) $f(x) = 4 - \frac{1}{4}\text{tg}x;$

г) $f(x) = x^2\text{ctg}x.$

17.5. Разложите производящие функции с заданной мощь

а) Для нахождения производной функции $f(x) = -3\text{ctg}x - 4x^3$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и табличными производными.

Производная суммы функций равна сумме производных: $f'(x) = (-3\text{ctg}x - 4x^3)' = (-3\text{ctg}x)' - (4x^3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$. Тогда $(-3\text{ctg}x)' = -3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2x}) = \frac{3}{\sin^2x}$.

Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Тогда $(4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.

Собираем все вместе: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2x} - 12x^2$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2x} - 12x^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin2x + \text{tg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и табличными производными.

$f'(x) = (\sin2x + \text{tg}x)' = (\sin2x)' + (\text{tg}x)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $\sin2x$. Это сложная функция, где внешняя функция $g(u) = \sin u$, а внутренняя $u(x) = 2x$.

По цепному правилу: $(\sin2x)' = (\cos2x) \cdot (2x)' = \cos2x \cdot 2 = 2\cos2x$.

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Складываем полученные производные: $f'(x) = 2\cos2x + \frac{1}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2\cos2x + \frac{1}{\cos^2x}$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{1}{4}\text{tg}x$. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.

$f'(x) = (4 - \frac{1}{4}\text{tg}x)' = (4)' - (\frac{1}{4}\text{tg}x)'$.

Производная константы равна нулю: $(4)' = 0$.

Производная второго слагаемого: $(\frac{1}{4}\text{tg}x)' = \frac{1}{4} \cdot (\text{tg}x)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{1}{4\cos^2x}$.

Таким образом, $f'(x) = 0 - \frac{1}{4\cos^2x} = -\frac{1}{4\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{4\cos^2x}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2\text{ctg}x$ необходимо применить правило дифференцирования произведения (правило Лейбница): $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В нашем случае $u(x) = x^2$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)'\text{ctg}x + x^2(\text{ctg}x)' = 2x \cdot \text{ctg}x + x^2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2x})$.

Упрощаем выражение: $f'(x) = 2x\text{ctg}x - \frac{x^2}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2x\text{ctg}x - \frac{x^2}{\sin^2x}$.