Номер 17.1, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные тригонометрических функций (17.1–17.4):
17.1. a) $f(x) = 3\sin x + 2\cos x;$ б) $f(x) = \operatorname{ctg} x - 1;
в) $y = \operatorname{tg} x + \sin x;$ г) $f(x) = 2\cos x - \operatorname{tg} x.$

а)

Дана функция $f(x) = 3\sin x + 2\cos x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы за знак производной, а также производные основных тригонометрических функций.

Правила дифференцирования:

Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Вынесение константы: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (3\sin x + 2\cos x)' = (3\sin x)' + (2\cos x)' = 3(\sin x)' + 2(\cos x)' = 3\cos x + 2(-\sin x) = 3\cos x - 2\sin x$.

Ответ: $f'(x) = 3\cos x - 2\sin x$.

б)

Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}x - 1$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности, производную котангенса и производную константы.

Правила дифференцирования:

Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Производная котангенса: $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная константы: $(c)' = 0$.

Применим эти правила:

$f'(x) = (\operatorname{ctg}x - 1)' = (\operatorname{ctg}x)' - (1)' = -\frac{1}{\sin^2x} - 0 = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2x}$.

в)

Дана функция $y = \operatorname{tg}x + \sin x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы и производные тангенса и синуса.

Правила дифференцирования:

Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Производная тангенса: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Находим производную $y'$:

$y' = (\operatorname{tg}x + \sin x)' = (\operatorname{tg}x)' + (\sin x)' = \frac{1}{\cos^2x} + \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2x} + \cos x$.

г)

Дана функция $f(x) = 2\cos x - \operatorname{tg}x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности, правило вынесения константы и производные косинуса и тангенса.

Правила дифференцирования:

Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Вынесение константы: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (2\cos x - \operatorname{tg}x)' = (2\cos x)' - (\operatorname{tg}x)' = 2(\cos x)' - (\operatorname{tg}x)' = 2(-\sin x) - \frac{1}{\cos^2x} = -2\sin x - \frac{1}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -2\sin x - \frac{1}{\cos^2x}$.