Страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Можно ли сказать, что в любой точке области определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ существуют их производные?

2. Можно ли сказать, что в любой точке области определения функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ существуют их производные? Ответ обоснуйте.

3. Как объяснить геометрический смысл производной для функции $y = \sin x$?

1. Да, можно. Область определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ — это вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$. Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Функции $\cos x$ и $-\sin x$ также определены для любого действительного числа $x$. Следовательно, в любой точке области определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ существуют их производные.

Ответ: Да, можно.

2. Да, можно. Обоснуем это для каждой функции отдельно.

Для функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ область определения — это все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть где $\cos x = 0$. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Производная функции $y = \tg x$ равна $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Эта производная существует во всех точках, где $\cos x \neq 0$, что в точности совпадает с областью определения самой функции $y = \tg x$.

Для функции $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ область определения — это все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть где $\sin x = 0$. Это точки вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Производная функции $y = \ctg x$ равна $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Эта производная существует во всех точках, где $\sin x \neq 0$, что также в точности совпадает с областью определения самой функции $y = \ctg x$.

Таким образом, для обеих функций их производные существуют в каждой точке их области определения.

Ответ: Да, можно, так как точки, в которых производные не существуют, не входят в область определения исходных функций.

3. Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона (или угловой коэффициент) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Для функции $y = \sin x$ ее производная равна $y' = \cos x$. Это означает, что для любого значения $x_0$, значение производной в этой точке, то есть $\cos x_0$, равно угловому коэффициенту касательной к графику синусоиды в точке с абсциссой $x_0$.

Например:

- В точке $x_0 = 0$, производная $y'(0) = \cos(0) = 1$. Это значит, что касательная к графику $y = \sin x$ в точке $(0,0)$ имеет угловой коэффициент, равный 1, и ее уравнение $y = x$.

- В точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, производная $y'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Это значит, что касательная к графику в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ горизонтальна, так как ее угловой коэффициент равен 0.

- В точке $x_0 = \pi$, производная $y'(\pi) = \cos(\pi) = -1$. Касательная к графику в точке $(\pi, 0)$ имеет угловой коэффициент, равный -1.

Ответ: Геометрический смысл производной функции $y = \sin x$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение, равное $\cos x_0$, является тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Найдите производные тригонометрических функций (17.1–17.4):
17.1. a) $f(x) = 3\sin x + 2\cos x;$ б) $f(x) = \operatorname{ctg} x - 1;
в) $y = \operatorname{tg} x + \sin x;$ г) $f(x) = 2\cos x - \operatorname{tg} x.$

а)

Дана функция $f(x) = 3\sin x + 2\cos x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы за знак производной, а также производные основных тригонометрических функций.

Правила дифференцирования:

Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Вынесение константы: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (3\sin x + 2\cos x)' = (3\sin x)' + (2\cos x)' = 3(\sin x)' + 2(\cos x)' = 3\cos x + 2(-\sin x) = 3\cos x - 2\sin x$.

Ответ: $f'(x) = 3\cos x - 2\sin x$.

б)

Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}x - 1$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности, производную котангенса и производную константы.

Правила дифференцирования:

Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Производная котангенса: $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная константы: $(c)' = 0$.

Применим эти правила:

$f'(x) = (\operatorname{ctg}x - 1)' = (\operatorname{ctg}x)' - (1)' = -\frac{1}{\sin^2x} - 0 = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2x}$.

в)

Дана функция $y = \operatorname{tg}x + \sin x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы и производные тангенса и синуса.

Правила дифференцирования:

Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Производная тангенса: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Находим производную $y'$:

$y' = (\operatorname{tg}x + \sin x)' = (\operatorname{tg}x)' + (\sin x)' = \frac{1}{\cos^2x} + \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2x} + \cos x$.

г)

Дана функция $f(x) = 2\cos x - \operatorname{tg}x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности, правило вынесения константы и производные косинуса и тангенса.

Правила дифференцирования:

Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Вынесение константы: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (2\cos x - \operatorname{tg}x)' = (2\cos x)' - (\operatorname{tg}x)' = 2(\cos x)' - (\operatorname{tg}x)' = 2(-\sin x) - \frac{1}{\cos^2x} = -2\sin x - \frac{1}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -2\sin x - \frac{1}{\cos^2x}$.

17.2. a) $f(x) = 2x + 2\operatorname{tg}x;$ б) $f(x) = 4x\operatorname{ctg}x;$

В) $f(x) = \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right);$ Г) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x+\frac{\pi}{4}\right).$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x + 2\text{tg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно:

Производная первого слагаемого: $(2x)' = 2$.

Производная второго слагаемого: $(2\text{tg}x)' = 2 \cdot (\text{tg}x)'$. Используя производную тангенса $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем $2 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{2}{\cos^2x}$.

Складываем полученные производные: $f'(x) = 2 + \frac{2}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2 + \frac{2}{\cos^2x}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = 4x\text{ctg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (4x)' = 4$.

$v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (4x)' \cdot \text{ctg}x + 4x \cdot (\text{ctg}x)' = 4\text{ctg}x + 4x \cdot (-\frac{1}{\sin^2x}) = 4\text{ctg}x - \frac{4x}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 4\text{ctg}x - \frac{4x}{\sin^2x}$.

в) Функция $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ является сложной функцией. Для ее дифференцирования используем правило производной сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u) = \sin u$, ее производная $g'(u) = \cos u$.

Внутренняя функция $h(x) = x + \frac{\pi}{3}$, ее производная $h'(x) = (x + \frac{\pi}{3})' = 1 + 0 = 1$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cdot (x + \frac{\pi}{3})' = \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cdot 1 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $f'(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

г) Функция $f(x) = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ также является сложной функцией. Применяем правило производной сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = \text{tg}u$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{\cos^2u}$.

Внутренняя функция $h(x) = x + \frac{\pi}{4}$, ее производная $h'(x) = (x + \frac{\pi}{4})' = 1 + 0 = 1$.

Применяем правило:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x + \frac{\pi}{4})}$.