Страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.Найдите производную функции $y = \left(\frac{1}{2}x+5\right)^{10}$:

A) $10\left(\frac{1}{2}x+5\right)^{11}$; B) $5\left(\frac{1}{2}x+5\right)^{9}$; C) $\left(\frac{1}{2}x-6\right)^{9}$; D) $8\left(\frac{1}{2}x-6\right)^{9}$.

Для нахождения производной функции $y = \left(\frac{1}{2}x + 5\right)^{10}$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило. Функция представляет собой композицию двух функций: внешней степенной функции $f(u) = u^{10}$ и внутренней линейной функции $u(x) = \frac{1}{2}x + 5$.

Формула производной сложной функции: $y' = (f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Шаг 1: Находим производную внешней функции $f(u) = u^{10}$ по переменной $u$. Используем правило для степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1}$.

$f'(u) = 10u^{10-1} = 10u^9$

Шаг 2: Находим производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{2}x + 5$ по переменной $x$.

$u'(x) = \left(\frac{1}{2}x + 5\right)' = \left(\frac{1}{2}x\right)' + (5)' = \frac{1}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{1}{2}$

Шаг 3: Собираем все вместе по цепному правилу. Подставляем $u(x)$ в $f'(u)$ и умножаем на $u'(x)$.

$y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = 10\left(\frac{1}{2}x + 5\right)^9 \cdot \frac{1}{2}$

Шаг 4: Упрощаем полученное выражение.

$y' = \left(10 \cdot \frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}x + 5\right)^9 = 5\left(\frac{1}{2}x + 5\right)^9$

Полученный результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: B) $5\left(\frac{1}{2}x + 5\right)^9$.

6. Найдите производную функции $y(x) = \operatorname{ctg}x$ и вычислите ее значение при $x = \frac{\pi}{6}$:

A) $\frac{3}{4}$;

B) $\frac{4}{3}$;

C) $-4$;

D) $4$.

Найдите производную функции $y(x) = \text{ctg}\,x$

Производная функции котангенса является табличной. Формула для нахождения производной от $\text{ctg}\,x$ следующая:

$y'(x) = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Вычислите ее значение при $x = \frac{\pi}{6}$

Теперь необходимо подставить значение $x = \frac{\pi}{6}$ в полученную формулу производной:

$y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Возведем это значение в квадрат:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим полученное значение в выражение для производной и вычислим результат:

$y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -1 \cdot 4 = -4$.

Ответ: -4.

7. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x) = 2x^3 - 5x$ в точке $M(2; 6):$

A) $tga = 29$;

B) $tga = 19$;

C) $tga = 13$;

D) $tga = 17$.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной этой функции в данной точке. Это следует из геометрического смысла производной: $k = \text{tg}\alpha = f'(x_0)$, где $\alpha$ – это угол наклона касательной, а $x_0$ – абсцисса точки касания.

1. Нахождение производной функции.

Дана функция $f(x) = 2x^3 - 5x$.

Найдем её производную, используя стандартные правила дифференцирования:

$f'(x) = (2x^3 - 5x)' = (2x^3)' - (5x)' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 5 \cdot 1x^{1-1} = 6x^2 - 5$.

2. Вычисление значения производной в точке касания.

Касательная проведена к графику в точке $M(2; 6)$. Абсцисса этой точки равна $x_0 = 2$.

Теперь необходимо вычислить значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = 6 \cdot (2)^2 - 5 = 6 \cdot 4 - 5 = 24 - 5 = 19$.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x) = 2x^3 - 5x$ в точке $M(2; 6)$, равен 19.

Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту B.

Ответ: B) $\text{tga} = 19$.

8. Найдите производную функции $f(x) = (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 1)$:

А) $2x^8$;

В) $4x^3$;

С) $8x^2$;

D) $4x^5$.

Для нахождения производной функции $f(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$ можно сначала упростить это выражение, а затем найти производную, или использовать правило производной произведения.

Способ 1: Упрощение выражения

Заметим, что выражение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = x^2$ и $b = 1$.

Применим эту формулу для упрощения функции:

$f(x) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь найдем производную от упрощенной функции $f(x) = x^4 - 1$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (x^4 - 1)' = (x^4)' - (1)' = 4x^{4-1} - 0 = 4x^3$

Способ 2: Правило производной произведения

Правило производной произведения гласит: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (2x)(x^2 + 1) + (x^2 - 1)(2x)$

Раскроем скобки и упростим:

$f'(x) = 2x^3 + 2x + 2x^3 - 2x = 4x^3$

Оба способа дают результат $4x^3$. Сравнивая с вариантами ответа, находим, что это вариант B.

Ответ: B) $4x^3$

9. Найдите производную функции $y = \sin 3x$:

A. $\sin 3x$;

B. $3 \cos 3x$;

C. $-\sin 3x$;

D. $-3 \sin 3x$.

Для нахождения производной функции $y = \sin(3x)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило.

Функция $y = \sin(3x)$ является сложной, так как состоит из внешней функции синуса и внутренней функции $3x$.

Обозначим внешнюю функцию как $f(u) = \sin(u)$ и внутреннюю как $u(x) = 3x$.

Формула производной сложной функции: $y' = (f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

1. Находим производную внешней функции по ее аргументу $u$:

$f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

2. Находим производную внутренней функции по $x$:

$u'(x) = (3x)' = 3$.

3. Подставляем полученные производные в формулу цепного правила. Вместо $u$ подставляем выражение для внутренней функции $3x$:

$y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = \cos(3x) \cdot 3$.

Запишем результат в стандартном виде:

$y' = 3\cos(3x)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B. $3\cos3x$

10. Если $f(x) = (1 - 2x) \cdot (2x + 1)$, то найдите $f'(1)$:

A) -8;

B) -4;

C) 2;

D) 0.

Чтобы найти значение производной $f'(1)$, сначала необходимо найти производную функции $f(x)$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Раскрытие скобок и последующее дифференцирование

1. Упростим исходное выражение для функции $f(x)$. Можно заметить, что выражение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, если записать его как $(1-2x)(1+2x)$.

$f(x) = (1 - 2x)(2x + 1) = 1 \cdot (2x+1) - 2x \cdot (2x+1) = 2x + 1 - 4x^2 - 2x = 1 - 4x^2$

2. Теперь найдём производную полученной функции, используя правила дифференцирования. Производная константы равна нулю, а производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.

$f'(x) = (1 - 4x^2)' = (1)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x^{2-1} = -8x$

3. Подставим значение $x=1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -8 \cdot 1 = -8$

Способ 2: Использование правила дифференцирования произведения

1. Используем формулу производной произведения двух функций: $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

В нашем случае, пусть $u(x) = 1 - 2x$ и $v(x) = 2x + 1$.

2. Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (1 - 2x)' = -2$

$v'(x) = (2x + 1)' = 2$

3. Подставим эти значения в формулу производной произведения:

$f'(x) = (-2) \cdot (2x + 1) + (1 - 2x) \cdot 2$

4. Упростим полученное выражение:

$f'(x) = -4x - 2 + 2 - 4x = -8x$

5. Теперь подставим значение $x=1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -8 \cdot 1 = -8$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Среди предложенных вариантов ответа, это вариант A).

Ответ: -8

11. Уравнение касательной к графику функции $y = x^4 + x$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$:

A) $y = 3x + 3$;

B) $y = -3x - 3$;

C) $y = 3x + 7$;

D) $y = x - 7$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^4 + x$ и абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$ (ординату точки касания):

$f(-1) = (-1)^4 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 + x)' = 4x^3 + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:

$k = f'(-1) = 4(-1)^3 + 1 = 4 \cdot (-1) + 1 = -4 + 1 = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(-1) = -3$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + (-3) \cdot (x - (-1))$

$y = -3(x + 1)$

$y = -3x - 3$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B).

Ответ: $y = -3x - 3$.

12. В точке с абсциссой $x = 1$ к графику функции $f(x)=\sqrt{x}$ проведена касательная. Найдите ординату точки касательной с абсциссой $x = 31: $
A) 17; B) 19; C) 16; D) 15.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данной задаче функция $f(x) = \sqrt{x}$, а точка касания имеет абсциссу $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим корень в виде степени:

$f(x) = x^{1/2}$.

$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$:

$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение касательной, подставив найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = \frac{1}{2}$ в общую формулу:

$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1)$.

Упростим полученное уравнение:

$y = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

5. Теперь необходимо найти ординату (значение $y$) точки на этой касательной, абсцисса которой равна $x = 31$. Для этого подставим $x = 31$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} \cdot 31 + \frac{1}{2} = \frac{31}{2} + \frac{1}{2} = \frac{31 + 1}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

Следовательно, ордината искомой точки равна 16.

Ответ: 16.

13. Найдите производную функции $f(x) = x^2 + \sqrt{x}$:

A) $2x + \frac{1}{2\sqrt{x}};$

B) $2x^2 + 2\sqrt{x};$

C) $-2x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}};$

D) $2x^2 + \frac{1}{x}.$

Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 + \sqrt{x}$ используется правило дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

В данном случае, функция состоит из двух слагаемых: $g(x) = x^2$ и $h(x) = \sqrt{x}$. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная первого слагаемого $g(x) = x^2$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Для $x^2$ показатель степени $n=2$.

$g'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

2. Производная второго слагаемого $h(x) = \sqrt{x}$.

Сначала представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Теперь применим ту же формулу для степенной функции, где $n = \frac{1}{2}$.

$h'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$.

Преобразуем выражение с отрицательной степенью, чтобы избавиться от нее:

$\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Складываем найденные производные.

$f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: A) $2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

14. Найдите производную функции $f(x) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ и вычислите ее значение при $x = -\frac{3}{4}\pi$:

A) нет решения;

B) $-\frac{3}{4}$;

C) 2;

D) -2.

Для решения данной задачи необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем вычислить её значение в указанной точке.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Это сложная функция вида $g(h(x))$, где внешняя функция $g(u) = \text{ctg}(u)$ и внутренняя функция $h(x) = \frac{\pi}{4} - x$.

Для нахождения её производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Находим производные для внешней и внутренней функций:

Производная котангенса: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная аргумента: $h'(x) = (\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$.

Теперь, подставляя эти производные в формулу, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - x)} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - x)}$.

2. Вычисление значения производной

Теперь необходимо вычислить значение найденной производной в точке $x = -\frac{3}{4}\pi$.

Подставим $x = -\frac{3}{4}\pi$ в выражение для $f'(x)$:

$f'(-\frac{3}{4}\pi) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - (-\frac{3}{4}\pi))}$.

Сначала вычислим значение аргумента синуса:

$\frac{\pi}{4} - (-\frac{3}{4}\pi) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Таким образом, выражение для производной принимает вид:

$f'(-\frac{3}{4}\pi) = \frac{1}{\sin^2(\pi)}$.

Так как значение $\sin(\pi) = 0$, то знаменатель дроби равен $0^2 = 0$. Деление на ноль не определено, следовательно, значение производной в этой точке не существует.

Причина этого заключается в том, что исходная функция $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - x)$ не определена в точке $x = -\frac{3}{4}\pi$, поскольку её аргумент в этой точке равен $\pi$, а $\text{ctg}(\pi)$ не существует. Функция не может быть дифференцируемой в точке, где она не определена.

Следовательно, задача не имеет численного решения, что соответствует варианту А).

Ответ: A) нет решения.

15. Материальная точка движется по закону $S = t^3 + 2t^2 - 4$. Найдите скорость в момент времени $t = 2$:

А) 20;

В) 27;

С) 34;

D) 16.

Скорость материальной точки в данный момент времени является мгновенной скоростью, которая определяется как первая производная от функции перемещения по времени. В данном случае, закон движения задан функцией $S(t)$, где $S$ — перемещение, а $t$ — время.

Исходная функция перемещения:

$S(t) = t^3 + 2t^2 - 4$

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную $S'(t)$:

$v(t) = S'(t) = (t^3 + 2t^2 - 4)'$

Применяем правила дифференцирования для каждого члена функции:

Производная от $t^3$ равна $3t^2$.

Производная от $2t^2$ равна $2 \cdot 2t = 4t$.

Производная от константы $-4$ равна $0$.

Складывая полученные производные, получаем функцию скорости:

$v(t) = 3t^2 + 4t$

Теперь необходимо найти значение скорости в конкретный момент времени $t = 2$. Для этого подставим значение $t = 2$ в функцию скорости $v(t)$:

$v(2) = 3(2)^2 + 4(2)$

Проведем вычисления:

$v(2) = 3 \cdot 4 + 8$

$v(2) = 12 + 8$

$v(2) = 20$

Таким образом, скорость материальной точки в момент времени $t = 2$ составляет 20. Это соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) 20.

16. Найдите производную функции $f(x) = \frac{1}{\cos 5x}$:

A) $\frac{5\tan 5x}{\cos 5x}$;

B) $\tan 5x + 1$;

C) $\frac{1}{\tan 5x}$;

D) $-\frac{\sin 5x}{5\cos^2 5x}$.

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{\cos 5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функцию можно представить в виде $f(x) = (\cos 5x)^{-1}$.

Правило дифференцирования сложной функции для $f(x) = g(h(x))$ имеет вид: $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя функция $h(x) = \cos 5x$.

1. Найдём производную внешней функции по её аргументу $u$:

$g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.

2. Найдём производную внутренней функции $h(x) = \cos 5x$. Это также сложная функция, где внутренняя часть - $5x$.

$h'(x) = (\cos 5x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)'$.

Поскольку производная $(5x)' = 5$, получаем:

$h'(x) = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin 5x$.

3. Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\frac{1}{(\cos 5x)^2} \cdot (-5\sin 5x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов, преобразовав их при необходимости.

A) $\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x}$

Используем тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x} = \frac{5 \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x}}{\cos 5x} = \frac{5\sin 5x}{\cos 5x \cdot \cos 5x} = \frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

Этот вариант совпадает с найденной производной.

B) $\operatorname{tg}5x + 1$

Это выражение не эквивалентно $\frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

C) $\frac{1}{\operatorname{tg}5x}$

Это выражение равно $\frac{\cos 5x}{\sin 5x}$ (котангенс) и не совпадает с ответом.

D) $-\frac{\sin 5x}{5\cos^2 5x}$

Это выражение отличается от нашего результата знаком и наличием коэффициента 5 в знаменателе вместо числителя.

Таким образом, правильный ответ находится под буквой A.

Ответ: A) $\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x}$