Страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему функция $y = ctgx$ на промежутке $(0; \pi)$ убывает? Ответ обоснуйте.

2. Функция на некотором промежутке монотонно возрастает. Следует ли из этого, что производная функции положительна?

3. Что является графиком функции, производная которой на множестве действительных чисел равна 1? Ответ обоснуйте.

1. Для исследования функции на монотонность необходимо найти её производную и определить её знак на заданном промежутке. Производная функции $y = \text{ctg}\,x$ находится по формуле: $y' = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$. Рассмотрим промежуток $(0; \pi)$. Для любого значения $x$ из этого промежутка (углы в I и II четвертях) значение $\sin x$ отлично от нуля и положительно. Следовательно, знаменатель дроби $\sin^2x$ всегда будет строго больше нуля ($\sin^2x > 0$) на промежутке $(0; \pi)$. Так как числитель дроби равен $-1$ (отрицательное число), а знаменатель положителен, то вся производная $y' = -\frac{1}{\sin^2x}$ будет отрицательна на всем промежутке $(0; \pi)$. Согласно достаточному условию убывания функции, если производная функции $f'(x) < 0$ во всех точках интервала, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Ответ: Производная функции $y=\text{ctg}\,x$ равна $y'=-\frac{1}{\sin^2x}$. На промежутке $(0; \pi)$ производная всегда отрицательна, так как $\sin^2x > 0$. Следовательно, функция убывает на этом промежутке.

2. Нет, из того, что функция монотонно возрастает на некотором промежутке, не следует, что ее производная строго положительна. Из теоремы Лагранжа следует, что если функция возрастает на промежутке, то её производная на этом промежутке неотрицательна, то есть $f'(x) \geq 0$. Производная может быть равна нулю в отдельных точках. Классическим примером является функция $y = x^3$. Эта функция монотонно возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Однако её производная $y' = 3x^2$ в точке $x=0$ равна нулю ($y'(0) = 0$). Таким образом, условие строгой положительности производной не является необходимым для монотонного возрастания функции.

Ответ: Нет, не следует. Производная монотонно возрастающей функции является неотрицательной ($f'(x) \geq 0$), то есть может обращаться в нуль в отдельных точках. Пример: функция $y=x^3$ возрастает, но её производная $y'=3x^2$ равна нулю при $x=0$.

3. Задача состоит в том, чтобы найти все функции $f(x)$, производная которых равна 1. Это задача нахождения первообразной. Если $f'(x) = 1$, то, интегрируя обе части, получаем: $f(x) = \int 1 \,dx = x + C$, где $C$ – произвольная постоянная (константа интегрирования). Уравнение $y = x + C$ является общим уравнением линейной функции. С геометрической точки зрения это уравнение описывает прямую линию с угловым коэффициентом (slope), равным 1, и пересекающую ось ординат (y-intercept) в точке $(0, C)$. Поскольку $C$ может быть любым действительным числом, то решением является не одна конкретная прямая, а бесконечное множество (семейство) параллельных прямых, каждая из которых наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом 45°.

Ответ: Графиком такой функции является семейство параллельных прямых, заданных уравнением $y = x + C$, где $C$ – любое действительное число.